Question

12．在三角形MNQ中．
（1）如图1，求证：∠M+∠N+∠Q=180°；
（2）如图2，当MP∥NQ，且∠PMQ=90°-$\frac{1}{2}$∠NMQ．求证：∠N=∠MQN；
（3）在（2）的条件下，如图3，在MN的延长线上取一点K，连接KQ交MP于点G，且2KG=KQ，2∠MKG=∠NMQ，过点K，作RK⊥NK，交直线NQ于点R，若KN=15，KR=20，NR=25，QR=16，在直线MP上有一点B，在直线NQ上有一点A，当△ABQ和△KNQ的面积相等时．求线段AN的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，作平行线，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等得：∠AMN=∠N，∠BMQ=∠Q，再由平角的定义：∠AMB=180°，等量代换可得结论；
（2）如图2，先由平行线得：∠1=∠N，∠PMQ=∠MQN，再把已知∠PMQ=90°-$\frac{1}{2}$∠NMQ两边同时乘以2，移项得：2∠PMQ+∠NMQ=180°，由平角的定义得：∠1+∠PMQ+∠NMQ=180°，两式对比后得：∠PMQ=∠1，结论得出．
（3）先证明△KQN是直角三角形，并求出NQ的长为9，求△KQN的面积为54，设AN=x，分两种情况：
①当A在点N的左侧时，如图3，AQ=9+x，②当A在点N的右侧时，如图4，AQ=x-9，分别根据△ABQ和△KNQ的面积相等列等式求解．

解答 证明：（1）如图1，过M作AB∥NQ，
∴∠AMN=∠N，∠BMQ=∠Q，
∵∠AMN+∠NMQ+∠BMQ=180°，
∴∠N+∠NMQ+∠Q=180°，
即：∠M+∠N+∠Q=180°；
（2）如图2，
∵MP∥NQ，
∴∠1=∠N，∠PMQ=∠MQN，
∵∠PMQ=90°-$\frac{1}{2}$∠NMQ，
∴2∠PMQ=180°-∠NMQ，
∴2∠PMQ+∠NMQ=180°，
∵∠1+∠PMQ+∠NMQ=180°，
∴∠PMQ=∠1，
∴∠N=∠MQN；
（3）∵2KG=KQ，
∴G是KQ的中点，
∵2∠MKG=∠NMQ，∠NMQ=∠MKG+∠MQG，
∴∠MKG=∠MQG，
∴MK=MQ，
∴MG⊥KQ，
∵MP∥NQ，
∴NQ⊥KQ，
∴∠NQK=90°，
∵KN=15，NQ=NR-QR=25-16=9，
∴KQ=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∴S_△KNQ=$\frac{1}{2}$NQ•KQ=$\frac{1}{2}$×9×12=54，
设AN=x，分两种情况：
①当A在点N的左侧时，如图3，AQ=9+x，
∵KQ=12，
∴GQ=$\frac{1}{2}$KQ=6，
∵S_△ABQ=S_△KNQ，
∴$\frac{1}{2}$AQ•GQ=54，
$\frac{1}{2}$（9+x）×6=54，
x=9，
②当A在点N的右侧时，如图4，AQ=x-9，
得：$\frac{1}{2}$（x-9）×6=54，
x=27，
则线段AN的长为9或27．

点评 本题是三角形的综合题，难度不大，考查了三角形内角和定理的证明、平行线的性质、等腰三角形的性质和判定等，根据三角形的内角和定理或外角定理可以求角的大小关系，同时与角有关系的性质还有平行线及等腰三角形，都要熟练掌握，在几何证明中经常运用．