Question

11．已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}2（x-1）≤a-2\\ 2x-1＞0\end{array}\right.$无解．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为正整数，请先化简再求值：$（{\frac{a-1}{{{a^2}-4a+4}}-\frac{a+2}{{{a^2}-2a}}}）÷（{\frac{4}{a}-1}）$．

Answer 1

分析 （1）由题意分别解出不等式组中的两个不等式，由题意不等式的解集为无解，再根据求不等式组解集的口诀：大大小小找不到（无解）来求出a的范围．
（2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再题意求出a的值，再代入进行计算即可．

解答 解：（1）由2（x-1）≤a-2，
∴x≤$\frac{1}{2}$a，
由2x-1＞0，
∴x＞$\frac{1}{2}$，
又关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}2（x-1）≤a-2\\ 2x-1＞0\end{array}\right.$无解，
∴a≤1．
（2）$（{\frac{a-1}{{{a^2}-4a+4}}-\frac{a+2}{{{a^2}-2a}}}）÷（{\frac{4}{a}-1}）$
=（$\frac{{a}^{2}-a}{a（a-2）^{2}}$-$\frac{{a}^{2}-4}{a（a-2）^{2}}$）÷（$\frac{4-a}{a}$）
=$\frac{4-a}{a（a-2）^{2}}$•$\frac{a}{4-a}$
=$\frac{1}{（a-2）^{2}}$，
∵a≤1，a为正整数，
∴a=1，
∴原式=$\frac{1}{（1-2）^{2}}$=1．

点评 主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集为无解反过来求a的范围．也考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键