如图.AB是⊙O直径.点P是AB下方的半圆上不与点A.B重合的一个动点.点C为AP中点.延长CO交⊙O于点D.连接AD.过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E.连CE．(1)求证:△DAC≌△ECP,(2)填空:①当∠DAP=45°时.四边形DEPC为正方形,②在点P运动过程中.若⊙O半径为5.tan∠DCE=$\frac{1}{2}$.则AD=4$\sqrt{5}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

如图，AB是⊙O直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE．
（1）求证：△DAC≌△ECP；
（2）填空：
①当∠DAP=45°时，四边形DEPC为正方形；
②在点P运动过程中，若⊙O半径为5，tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，则AD=4$\sqrt{5}$．

分析（1）先由切线的性质得到∠CDE=90°，再利用垂径定理的推理得到DC⊥AP，接着根据圆周角定理得到∠APB=90°，于是可判断四边形DEPC为矩形，所以DC=EP，然后根据“SAS”判断△DAC≌△ECP；
（2）①利用四边形DEPC为矩形得到DE=PC=AC，则根据正方形的判定方法得DC=CP时，四边形DEPC为正方形，则DC=CP=AC，于是得到此时△ACD为等腰直角三角形，所以∠DAP=45°；
②先证明∠ADC=∠DCE，再在Rt△ACD中利用正切得到tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，则设AC=x，DC=2x，利用勾股定理得到AD=$\sqrt{5}$x，然后在Rt△AOC中利用勾股定理得到x²+（2x-5）²=5²，再解方程求出x即可得到AD的长．

解答（1）证明：∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∵点C为AP的中点，
∴DC⊥AP，
∴∠DCA=∠DCP=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠APB=90°，
∴四边形DEPC为矩形，
∴DC=EP，
在△DAC和△ECP中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=PC}\\{∠ACD=∠CPE}\\{DC=EP}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△ECP；
（2）解：①∵四边形DEPC为矩形，
∵DE=PC=AC，
∵当DC=CP时，四边形DEPC为正方形，
此时DC=CP=AC，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠DAP=45°；
②∵DE=AC，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠ADC=∠DCE，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，
设AC=x，则DC=2x，
∴AD=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
在Rt△AOC中，AO=5，OC=CD-OD=2x-5，
∴x²+（2x-5）²=5²，解得x₁=0（舍去），x₂=4，
∴AD=4$\sqrt{5}$．
故答案为45°，4$\sqrt{5}$．

点评本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质和特殊平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的判定方法证明三角形全等；能运用勾股定理建立方程．

练习册系列答案

文言文课外阅读特训系列答案

轻松阅读训练系列答案

南大教辅初中英语任务型阅读与首字母填空系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

8．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F．
（1）如图1，若CE⊥AB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；
（2）如图2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求证：CE=$2\sqrt{2}$HE；
（3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A′，连接CA′，EA′，DA′，请直接写出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之间的等量关系．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

9．如图，tan∠GAB=$\frac{3}{4}$，AB=10cm，点P从点B出发以5cm/s的速度沿BA向终点A运动，同时点Q以相同的速度从点A出发沿射线AG运动，分别以PB、PQ为边作等边△BPD，正方形PQEF，连接PE，设运动的时间为ts．
（1）当PE⊥AG时，求t的值；
（2）当△APQ是等腰三角形时，求t的值；
（3）当点F落在△BPD的边上时，请直接写出t的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

6．问题探索：
（1）如图1，已知四边形ABCD中，AB=a，BC=b，∠B=∠D=90°，求：
①对角线BD长度的最大值；②四边形ABCD的最大面积；（用含有a，b的代数式表示）
（2）如图2，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB=20cm，BC=30cm，∠B=120°，∠A+∠C=195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．（结果保留根号）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

13．数据a，4，2，5，3的中位数为b，且a和b是方程x²-10x+24=0的两个根，则b是4．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

3．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为$\frac{8t}{5}$cm．（用含有t的式子表示）．
（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

10．把方程x²-8x-4=0化成（x-h）²=k的形式，结果为（　　）

A．

（x-8）²=16

B．

（x-8）²=20

C．

（x-4）²=16

D．

（x-4）²=20

查看答案和解析>>