Question

如图抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点． s (1) 求该抛物线的解析式； (2) 设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时P点的坐标； (3) 设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如图答所示，由A(－1，0)，B(3，0)可得b=－2，c=－3，∴
(2)	设点P的坐标为(x，y)，由题意，得．∴|y|=4，∴y=±4．当y=4时，．∴，．当y=－4时，．∴x=1．∴满足条件的点P有3个．，，(1，－4)．
(3)	在抛物线对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小 ∵AC长为定值．∴要使△QAC的周长最小，只需QA＋QC最小 ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3，0)∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点．设过点B、C的直线的解析式为y=kx－3，因为直线过点B(3，0)．∴3k－3=0．∴B(3，0) ∴3k－3=0 k=1 ∴直线BC的解析式为y=x－3，把x=1代入上式，得y=－2，∴点Q坐标为(1，－2)．