【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)经过原点O和两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2).
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M、N两点,M在N的左边.当△AMN为等腰三角形时,直接写出圆心P的横坐标.
【答案】(1),;(2)见解析;(3)0或或
【解析】
(1)根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a,b,c的值即可;
(2)设P(x,y),表示出⊙P的半径r,进而与x2比较得出答案即可;
(3)分别表示出AM,AN的长,进而分别利用当AM=AN时,当AM=MN时,当AN=MN时,求出a的值,进而得出圆心P的横坐标即可.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,
∴抛物线的一般式为:y=ax2,
∴=a()2,
解得:a=±,
∵图象开口向上,
∴a=,
∴抛物线解析式为:y=x2,
故a=,b=c=0;
(2)设P(x,y),P的半径,
又∵,则 ,
化简得:,
∴点P在运动过程中,P始终与x轴相交;
(3)设P(a,a2),
∵PA=,
作PH⊥MN于H,则PM=PN=,
又∵PH=a2,
则MH=NH==2,
故MN=4,
∴M(a﹣2,0),N(a+2,0),
又∵A(0,2),
∴AM=,AN=,
当AM=AN时,=,
解得:a=0,
当AM=MN时,=4,
解得:;
当AN=MN时,=4,
解得:;
综上所述,P的横坐标为0或或.
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【题目】新冠肺炎疫情期间,某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂,乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元,已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.
(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元?
(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶,且总费用为1400元,求购买了多少瓶乙品牌消毒剂?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径, BC交⊙O于点D,E是的中点,连接AE交BC于点F,∠ACB =2∠EAB.
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求BF的长.
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【题目】在下面的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位,△ABC是格点三角形(顶点在网格交点处) .
(1)作出△ABC的中心对称图形△,A点为对称中心;
(2)作出△ABC关于点P的位似△A'B'C',且位似比为1:2;
(3)在图中画出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D.
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【题目】某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况,收集整理了学生在作业和考试中的常见错误,编制了10道选择题,每题3分,对他所教的初三(1)班(2)班进行了检测.如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况:
(1)利用图中提供的信息,补全下表:
(2)若把24分以上(含24分)记为”优秀”,两班各50名学生,请估计两班各有多少名学生成绩优秀;
(3)观察图中数据分布情况,请通过计算方差说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定.
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【题目】已知正比例函数的图象与反比例函数(为常数,)的图象有一个交点的横坐标是2.
(1)求两个函数图象的交点坐标;
(2)若点,是反比例函数图象上的两点,且,试比较的大小.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
⑴求证:四边形BEDF为菱形;
⑵如果∠A=100°,∠C=30°,求∠BDE的度数.
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【题目】如图,扇形OAB的半径OA=4,圆心角∠AOB=90°,点C是弧AB上异于A、B的一点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连结DE,过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G.
(1)求证:∠CGO=∠CDE;
(2)若∠CGD=60°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】甲乙两个工厂同时加工一批机器零件.甲工厂先加工了两天后停止加工,维修设备,当维修完设备时,甲乙两厂加工的零件数相等,甲工厂再以原来的工作效率继续加工这批零件.甲乙两厂加工零件的数量y甲(件),y乙(件)与加工件的时间x(天)的函数图象如图所示,
(1)乙工厂每天加工零件的数为 件;
(2)甲工厂维修设备的时间是多少天?
(3)求甲维修设备后加工零件的数量y甲(件)与加工零件的时间x(天)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
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