Question

7．如图正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点O又是长方形A₁B₁C₁O的一个顶点，且OA₁=4，OC₁=2，使长方形绕点O转动过程中，长方形和正方形重叠部分的面积是1．

Answer 1

分析 如图可见，可通过全等三角形来证得长方形A₁B₁C₁O的与正方形ABCD重叠的部分为等腰△ABO．因此重合部分的面积实际为正方形ABCD面积的四分之一，已知了正方形的边长，可据此求出重合部分的面积．

解答 解：如图，设AB与MO的交点为E，BC与OP的交点为F．
根据旋转不变性得，∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BOF}\\{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBF=45°}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S_△AOE=S_△BOF，
∴S_重合部分=S_△BOE+S_△BOF，
=S_△BOE+S_△AOE=S_△AOB=$\frac{1}{4}$S_□ABCD=2×2×$\frac{1}{4}$=1，
故答案为：1．

点评 本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能力，属于基础题，解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在一起，再结合图形的特征选择相应的公式求解．在证明三角形全等时，根据旋转不变性直接得出∠AOE=∠BOF是解题的关键，