如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上.
(1)如图1,如果AM=AN,求证:BM=CN;
(2)如图2,如果M、N是边BC上任意两点,并满足∠MAN=45°,那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
见解析
【解析】
试题分析:(1)根据已知条件“在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC”以及等腰直角三角形的性质来判定△ABM≌△CAN(AAS);然后根据全等三角形的对应边相等求得BM=CN;
(2)过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.通过证明△ABM≌△ACE(SAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°,所以△MAN≌△EAN(SAS),故全等三角形的对应边MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AM=AN,∴∠AMN=∠ANM.
即得∠AMB=∠ANC.(1分)
在△ABM和△CAN中,
∴△ABM≌△CAN(AAS).(2分)
∴BM=CN.(1分)
另证:过点A作AD⊥BC,垂足为点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.(1分)
同理,证得MD=ND.(1分)
∴BD﹣MD=CD﹣ND.
即得BM=CN.(2分)
(2)MN2=BM2+NC2成立.
证明:过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.
∵CE⊥BC,∴∠ACE=∠B=45°.(1分)
在△ABM和△ACE中,
∴△ABM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE,∠BAM=∠CAE.(2分)
∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°.
于是,由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.(1分)
在△MAN和△EAN中,
∴△MAN≌△EAN(SAS).
∴MN=EN.(1分)
在Rt△ENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2.
即得MN2=BM2+NC2.(1分)
另证:由∠BAC=90°,AB=AC,可知,把△ABM绕点A逆时针旋转90°后,AB与AC重合,设点M的对应点是点E.
于是,由图形旋转的性质,得AM=AE,∠BAM=∠CAE.(3分)
以下证明同上.
科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.8直角三角形全等的判定(解析版) 题型:解答题
如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.8直角三角形全等的判定(解析版) 题型:选择题
不能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.斜边、直角边对应相等 B.两直角边对应相等
C.一锐角和斜边对应相等 D.两锐角对应相等
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.7探索勾股定理(解析版) 题型:解答题
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位,记平移后的对应三角形为△DEF,连接BE.
(1)当x=4时,求四边形ABED的周长;
(2)当x为何值时,△BED是等腰三角形?
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.7探索勾股定理(解析版) 题型:填空题
如图,Rt△ABC中,斜边AB上的中线CD=5cm,AC=6cm,则BC= cm.
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.7探索勾股定理(解析版) 题型:选择题
如图,大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的,A,B,C,D四个点是小正方形的顶点,由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.4等腰三角形的判定定理2(解析版) 题型:解答题
如图:在△ACB中,点D是AB边上一点,且∠ACB=∠CDA,∠CAB的平分线分别交CD、BC于点E、F.
(1)作出∠CAB的平分线AE;
(2)试说明△CEF是什么三角形?并证明你的结论.
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.4等腰三角形的判定定理1(解析版) 题型:?????
已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是( )
A.1,2,1 B.2,2,1 C.1,3,1 D.2,2,5
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