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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且A点坐标为（-6，0）．
    （1）求此二次函数的表达式；
    （2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
    （3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）通过解方程x2-10x+16=0得到二次函数图象上的点B、C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；
    （2）用m表述出AE、BE的长，长出△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性质得到比例式
    EF
    10
    =
    8-m
    8
    ，求出EF的表达式，利用sin∠FEG=sin∠CAB=
    4
    5
    得到
    FG
    EF
    =
    4
    5
    ，求出FG的表达式，再根据S=S△BCE-S△BFE
    求S与m之间的函数关系，m的值不超过AB的长．
    （3）将S=-
    1
    2
    m2+4配方为S=-
    1
    2
    （m-4）2+8，求出S的最大值，进而判断出此时△BCE的形状．
    解答：解：（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8．
    ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
    ∴A、B、C三点的坐标分别是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8），
    ∵点C（0，8）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，
    ∴c=8．
    将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式y=ax2+bx+8，得
    36a-6b+8=0
    4a+2b+8=0
    ，
    ∴所求二次函数的表达式为y=-
    2
    3
    x2-
    8
    3
    x+8．
    （2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
    ∵OA=6，OC=8，
    ∴AC=10．
    ∵EF∥AC，
    ∴△BEF∽△BAC．
    ∴
    EF
    AC
    =
    BE
    AB
    ．
    即
    EF
    10
    =
    8-m
    8
    ．
    ∴EF=
    40-5m
    4
    ．
    过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=
    4
    5
    ．
    ∴
    FG
    EF
    =
    4
    5
    ．
    ∴FG=
    4
    5
    •
    40-5m
    4
    =8-m．
    ∴S=S△BCE-S△BFE
    =
    1
    2
    （8-m）×8-
    1
    2
    （8-m）（8-m）
    =
    1
    2
    （8-m）（8-8+m）
    =
    1
    2
    （8-m）m
    =-
    1
    2
    m2+4m．
    自变量m的取值范围是0＜m＜8．
    （3）存在．
    理由如下：
    ∵S=-
    1
    2
    m2+4m=-
    1
    2
    （m-4）2+8，且-
    1
    2
    ＜0，
    ∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8．
    ∵m=4，
    ∴点E的坐标为（-2，0）．
    ∴△BCE为等腰三角形．
    点评：本题考查二次函数综合题，涉及函数和方程的关系、二次函数的性质、配方法求函数最大值等知识，是一道好题．
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    （1）求B、C两点的坐标；
    （2）求这个二次函数的解析式．

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    1
    AO
    -
    1
    OB
    =
    2
    CO
    ．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
    x … 0 1 2 3 4 5 …
    y … 3 0 -1 0 m 8 …
    （1）可求得m的值为
    3
    3
    ；
    （2）求出这个二次函数的解析式；
    （3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为
    -1≤y＜3
    -1≤y＜3
    ．

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