Question

20．如图1，抛物线y=-x²-3x与直线y=-2x-2交于A、B两点，过A作AC∥x轴交抛物线于点C，直线AB交x轴于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点H是线段BD上的一个动点，过H作HE∥y轴交抛物线于E点，连接OE、OH，当HE=$\frac{3}{10}$AC时，求S_△OEH的值；
（3）如图2，连接BO，CO及BC，设点F是BC的中点，点P是线段CO上任意一点，将△BFP沿边PF翻折得到△GPF，求当PC为何值时，△GPF与△CFP重叠部分的面积是△BCP面积的$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）列方程组可知A、B两点坐标，根据点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，列方程可求得点C坐标．
（2）如图1中，设H（m，-2m-2），（-2＜m＜-1），则E（m，-m²-3m），根据HE=$\frac{3}{10}$AC，列出方程求出点H的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题．
（3）分两种情形①若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG．如图2，可证四边形PFCG是平行四边形，得PB=PG=CF=$\sqrt{10}$，在Rt△PBO中，根据OP=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$即可解决问题．②若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG．如图3，可证四边形PFGC是平行四边形，得PC=FG=BF=$\frac{1}{2}$BC即可解决问题．

解答 解：（1）由 $\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-3x}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴点A坐标（1，-4），点B坐标（-2，2），
∵AC∥x轴，
∴点C纵坐标为-4，
由-x²-3x=-4，解得x=-4或1，
∴点C坐标（-4，-4）．

（2）如图1中，设H（m，-2m-2），（-2＜m＜-1），则E（m，-m²-3m），

由题意-m²-3m-（-2m-2）=$\frac{3}{10}$×5，
解得m=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ （舍弃），
∴S_△OEH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+3\sqrt{3}}{8}$．

（3）∵B（-2，2），C（-4，-4），
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，OB=2 $\sqrt{2}$，OC=4 $\sqrt{2}$，
∵OB²+OC²=BC²，
∴∠BOC=90°．
①若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG．如图2，

∵S_△PFL=$\frac{1}{4}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△PFC=$\frac{1}{2}$S_△PFG，
∴S_△PFL=S_△FCL=S_△PLG，
∴FL=LG．CL=LP，
∴四边形PFCG是平行四边形，
∴PB=PG=CF=$\sqrt{10}$，
在Rt△PBO中，OP=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PC=OC-OP=4 $\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3 $\sqrt{2}$．

②若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG．如图3，

∵S_△PFL=$\frac{1}{4}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△PFC=$\frac{1}{2}$S_△PFG，
∴S_△PFL=S_△FCL=S_△PLG，
∴FL=LG．CL=LP，
∴四边形PFGC是平行四边形，
∴PC=FG=BF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{10}$，
综上所述当PC=3 $\sqrt{2}$或 $\sqrt{10}$时，△GPF与△CFO重叠部分的面积是△BCP面积的 $\frac{1}{4}$．

点评 本题考查二次函数的综合题、一次函数、待定系数法、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握利用方程组求两个函数交点坐标，第三个问题中，判断四边形是平行四边形是突破点，属于中考压轴题．