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精英家教网如图,Rt△ABE中,AB⊥AE以AB为直径作⊙O,交BE于C,弦CD⊥AB,F为AE上一点,连FC,则FC=FE
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)已知点P为⊙O上一点,且tan∠APD=
12
,连CP,求sin∠CPD的值.
分析:(1)连接OC,由于AB是直径,那么∠BAE=90°,则∠B+∠E=90°,而OB=OC,CF=EF,可知∠BCO=∠CBO,∠E=∠ECF,易证∠BCO+∠ECF=90°,于是∠FCO=90°,于是CF是⊙O切线;
(2)由于AB⊥CD,利用垂径定理有弧AC=弧AD,那么∠B=∠APD,∠COM=∠CPD,从而有tan∠APD=tan∠B=
1
2
=
CM
BM
,再CM=t,BM=2t,OB=OC=R,OM=2t-R,根据勾股定理有R2=t2+(2t-R)2,可得R=
5
4
t,进而可求sin∠CPD.
解答:精英家教网(1)证明:连接OC,
∵AB是直径,
∴∠BAE=90°,
∴∠B+∠E=90°,
又∵OB=OC,CF=EF,
∴∠BCO=∠CBO,∠E=∠ECF,
∴∠BCO+∠ECF=90°,
∴∠FCO=90°,
∴CF是⊙O切线;

(2)解:∵CD⊥AB,
AC
=
AD

∴∠B=∠APD,∠COM=∠CPD,
∴tan∠APD=tan∠B=
1
2
=
CM
BM

设CM=t,BM=2t,OB=OC=R,OM=2t-R,
∴R2=t2+(2t-R)2
∴R=
5
4
t

∴sin∠CPD=sin∠COM=
CM
OC
=
4
5
点评:本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的计算、圆周角定理.解题的关键是连接OC,证明∠BCO+∠ECF=90°,并求出R=
5
4
t
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(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)已知点P为⊙O上一点,且tan∠APD=数学公式,连CP,求sin∠CPD的值.

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