Question

5．如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）、D（2，n）三点．
（1）求抛物线的解析式及点D坐标；
（2）点M是抛物线对称轴上一动点，求使BM-AM的值最大时的点M的坐标；
（3）如图2，将射线BA沿BO翻折，交y轴于点C，交抛物线于点N，求点N的坐标；
（4）在（3）的条件下，连结ON，OD，如图2，请求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入可求得a和b的值，可求得抛物线解析式，再把D点坐标代入可求得n的值，可求得D点坐标；
（2）当点A、B、M三点在一条直线上，且D在线段BA的延长线上时，BM-AM的值最大，可先求得直线AB的解析式，结合对称轴方程可求得M点的坐标；
（3）由轴对称的性质可证明△AOB≌△COB，可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式，与抛物线的交点即为N点；
（4）将△NOB沿x轴翻折，由三角形相似和全等可求得$\frac{{OP}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，则可求得P点的坐标，再把△OP₁D沿直线y=-x翻折，由对称性可得另一个满足条件的点P．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4），
∴把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=x²-3x．
∵抛物线过点D，
∴n=4-6=-6，
∴D点的坐标为（2，-2）；
（2）当点A、B、M三点在一条直线上，且D在线段BA的延长线上时，BM-AM的值最大，
设直线AB解析式为：y=kx+m，
将 A（3，0）、B（4，4）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{4k+m=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{m=-12}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=4x-12，
∵抛物线对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，y=-6，
∴当点M（$\frac{3}{2}$，-6）时，BM-AM的值最大；
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
根据轴对称性质得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，
在△AOB和△COB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠COB=∠AOB}\\{OB=OB}\\{∠CBO=∠ABO}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△COB（ASA），
∴OC=OA=3，
∴点C（0，3）
∴可设直线CB的解析式为y=kx+3，过点B（4，4），代入可得4=4k+3，解得k=$\frac{1}{4}$，
∴直线CB的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3，
∵点N在直线CB上，
∴设点N（n，$\frac{1}{4}$n+3），
又点N在抛物线y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（不合题意，舍去），
∴N点的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）；
（4）如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，则N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），

∵B₁（4，-4），D（2，-2），
∴O、D、B₁都在直线y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴$\frac{{OP}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴点P₁的坐标为（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）；
将△OP₁D沿直线y=-x翻折，由对称性可得另一个满足条件的点P₂（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$），
综上所述，点P的坐标是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）或（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键，在（3）中注意利用轴对称的性质求得C点的坐标是解题的关键，在（4）中注意利用轴对称的性质确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度较大．