Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△AOB内切圆的半径．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与x轴只有一个公共点，可得△=0，根据交点是A（2，0），可以把点A的坐标代入，则得到两个方程，联立解方程组即可；
（2）显然此三角形是直角三角形，只需求得它的三条边，根据直角三角形的内切圆半径公式进行计算．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）．
∴

b2-4c=0 2b+c=-4

，
∴b²-4（-4-2b）=0，
∴b²+8b+16=0，
∴b=-4，c=4，
即y=x²-4x+4．

（2）根据题意，知该三角形是直角三角形．
且OA=2，OB=4．
根据勾股定理，得AB=2

5

，
∴r=

OA+OB-AB

2

=

2+4-2 5

2

=3-

5

．

点评：注意：①二次函数和方程之间的联系：抛物线与x轴的交点和一元二次方程根的情况有关：当△＞0，抛物线与x轴有两个交点；
当△=0，抛物线与x轴只有一个公共点；当△＜0，抛物线与x轴没有公共点．
②直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．