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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，ABCD是一张矩形纸片，AB=20cm，BC=16cm，在AD边上取一点H，将纸片沿BH翻折，使点A恰好落在DC边上的点E处，过点E作EF∥AD交HB于点F．
    （1）求EF的长．
    （2）若点M自点H沿HE方向以1cm/s的速度向E点运动（不与H，E重合），过点M作MN∥EF交HB于点N，如图2，将△HMN沿MN对折，点H的对应点为H1，若△H1MN与四边形MNFE重叠部分的面积为S，点M运动的时间为t秒，问当t为何值时，S有最大值，最大值是多少．
    （3）当（2）问，点M自点H沿HE方向以1cm/s的速度向E点运动的同时点Q从点E出发，以2cm/s的速度运动，当点Q到达F点时M，Q停止运动，连接MF，是否存在某一时刻t，使点Q在线段MF的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
    分析：（1）根据折叠的性质、勾股定理在直角△BCE中求得EC=12cm，由相似三角形的判定推知△ECB∽△HDE，所以根据“相似三角形的对应边成比例”求得EH=AH=10cm．然后利用∠ABH的正切函数的定义求得FG=6cm，则易求线段EF的长度；
    （2）根据三角形的面积公式求得S与t的函数关系式，根据函数关系式来求最值；
    （3）过Q作QG⊥HE交HE于G，HK⊥EF，构建相似三角形：△QGE∽△HKE．所以由“相似三角形的对应边成比例”的性质列出关于t的一元二次方程，通过解方程来求t的值．
    解答：解：（1）折叠的性质知，∠A=∠HEB=90°，AH=EH，AB=EB．
    ∵在Rt△ECB中，EB=20cm，BC=16cm，
    ∴根据勾股定理知EC=
    		EB2-BC2
    =
    		202-162
    =12（cm），
    ∵∠EBC=∠DEH（同角的余角相等），∠C=∠D=90°，
    ∴△ECB∽△HDE，
    ∴
    BC
    EB
    =
    DE
    EH
    ，
    ∴
    BC
    AB
    =
    DC-EC
    EH
    ，即
    16
    20
    =
    8
    EH
    ，
    解得EH=AH=10cm．
     如图1，延长直线EF至AB交点为G．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴EC∥GB，∠C=90°，
    ∴四边形ECBG为矩形，
    ∴EC=BG=12cm，EG=BC=16cm．
    ∵
    AH
    AB
    =
    FG
    BG
    ，即
    10
    20
    =
    FG
    12
    ，
    ∴FG=6cm，
    则EF=EG-FG=16-6=10（cm）；

    （2）根据对折的性质知，△HMN≌△H1MN，则S△HMN=S△H1MN．
    由（1）知，DE=8cm，EH=EF=10cm．
    ∵AD⊥DE，EF∥AD，
    ∴DE⊥EF，
    ∴S△HEF=
    1
    2
    EF•DE=
    1
    2
    ×10×8=40（cm2）．
    ∵MN∥EF，
    ∴△HMN∽△HEF，
    ∴
    S△HMN
    S△HEF
    =(
    HM
    HE
    )2    ，即
    S△HMN
    40
    =(
    t
    10
    )    2    ，
    ∴S△HMN=
    2
    5
    t2．（0＜t＜10）．
    ①如图2所示，当0＜t≤5时，S=S△HMN=
    2
    5
    t2．则
    当t=5时，S最大=
    2
    5
    ×25=10（cm2）．
    ②当5＜t＜10时，如图3所示，连接HH1，则HH1⊥MN，HH1⊥EF．
    根据对折的性质知，HK=H1K．
    ∵△HMN∽△HEF，
    ∴
    HK
    HJ
    =
    HM
    HE
    ，即
    HK
    HJ
    =
    t
    10
    ，
    ∴
    HK
    KJ
    =
    t
    10-t
    ，
    ∴
    H1K
    H1J
    =
    t
    2t-10
    ，
    ∵MN∥EF，即MN∥GI，
    ∴△H1GI∽△H1MN，
    ∴
    S△HMN
    S△H1GI
    =
    S△H1MN
    S△H1GI
    =（
    H1K
    H1J
    ）2=（
    t
    2t-10
    ）2，
    ∴S△H1GI=
    8
    5
    （t-5）2．
    ∴S=S△HMN-S△H1GI=-
    6
    5
    t2+16t-40=-
    6
    5
    （t-
    20
    3
    ）2+
    40
    3
    ，
    ∴当t=
    20
    3
    时，S最大=
    40
    3
    ．
    综上所述，当t=
    20
    3
    时，S最大=
    40
    3
    （cm2）；

    （3）假设存在某一时刻t，使点Q在线段MF的垂直平分线上，则MQ=QF．
    如图4，过Q作QG⊥HE，交HE于G，HK⊥EF，则△QGE∽△HKE，
    ∴
    QG
    HK
    =
    EG
    EH
    =
    EQ
    HE
    ．
    ∵HK=8cm，EK=6cm，
    ∴
    QG
    8
    =
    EG
    6
    =
    2t
    10
    ，
    ∴QG=
    8
    5
    t，EG=
    6
    5
    t，MG=10-t-
    6
    5
    t=10-
    11
    5
    t．
    在Rt△MQG中，MQ2=（
    8
    5
    t）2+（10-
    11
    5
    t）2=
    37
    5
    t2-44t+100∵FQ=10-2t，
    ∴
    37
    5
    t2-44t+100=100-40t+4t2，解得：t1=
    20
    17
    ，t2=0（舍去）．
    点评：本题考查了相似综合题．注意题中辅助线的作法．另外，解答（2）时，要分类讨论，以防漏解．
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    操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕点O旋转
    （1）
    度后（填入一个你认为正确的序号：（1）90°；（2）180°；（3）270°；（4）360°），恰与直角梯形NMAB完全重合；再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得到的图形是下列中的
    D
    ．（填写正确图形的代号）

    A、B、C、D、

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    cm．

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    15、如图，ABCD是一张矩形纸片，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上，折痕交AB于点E，若BC=2AB，则∠A′EB=
    30°
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
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    （1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
    （2）△MNK的面积能否小于
    12
    ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
    （3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．

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