Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c．
（1）若a=b=1，c=-1，求抛物线与x轴公共点的坐标；
（2）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

解：∵a=b=1，c=-1，
∴抛物线的解析式为y=3x²+2x-1，
令y=3x²+2x-1=0，解得：x=-1或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（-1，0），（，0）；

（2）∵a=b=1，
∴解析式为y=3x²+2x+c．
∵对称轴x=-=-，
∵当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，
则①此公共点一定是顶点，
∴△=4-12c=0，
②一个交点的横坐标小于等于-1，另一交点的横坐标小于1而大于-1，
∴3-2+c≤0，3+2+c＞0，
解得-5＜c≤-1．
综上所述，c的取值范围是：c=或-5＜c≤-1．
分析：（1）将a、b、c的值代入抛物线后求得解析式，令y=0求出x的值就是交点坐标的横坐标；
（2）根据其在此范围内有一个交点，此时将两个值代入，分别大于零和小于零，进而求出相应的取值范围．
点评：本题考查了求二次函数的解析式等相关的知识，同时还渗透了分类讨论的数学思想，是一道不错的二次函数综合题．