Question

12．如图，抛物线m：y=-0.25（x+h）2+k与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，6.25），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D．
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段DE上一个动点（P不与D，E重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A，B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线m的顶点为M（3，6.25）得出m的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2），求出A（-2，0），B（8，0），再根据旋转的性质得出D的坐标为（13，-6.25），进而求出抛物线n的解析式；
（2）由点E与点A关于点B成中心对称，得出E（18，0），利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=$\frac{5}{4}$x-$\frac{45}{2}$，再根据S_△PEF=$\frac{1}{2}$PF•OF得出S与x的函数关系式，进而求解即可；
（3）利用勾股定理求出CG=$\sqrt{O{C}^{2}+O{G}^{2}}$=5=⊙G的半径，得出点C在⊙G上．过M作y轴的垂线，垂足为N，连结CM，利用勾股定理求出CM²=CN²+MN²=（$\frac{25}{4}$-4）²+3²=$\frac{225}{16}$，计算得出CG²+CM²=5²+$\frac{225}{16}$=$\frac{625}{16}$=（$\frac{25}{4}$）²=GM²，根据勾股定理的逆定理得到CG⊥CM，由切线的判定定理即可得出直线CM与⊙G相切．

解答 解：（1）∵抛物线m：y=-0.25（x+h）²+k的顶点为M（3，6.25），
∴m的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2），
∴A（-2，0），B（8，0），
∵将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D，
∴D的坐标为（13，-6.25），
∴抛物线n的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-13）²-$\frac{25}{4}$，即y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{13}{2}$x+36；

（2）∵点E与点A关于点B成中心对称，
∴E（18，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{13k+b=-\frac{25}{4}}\\{18k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{45}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{5}{4}$x-$\frac{45}{2}$，
∵P点的坐标为（x，y），13＜x＜18，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$PF•OF=$\frac{1}{2}$x•（-y）=-$\frac{1}{2}$xy=-$\frac{1}{2}$x（$\frac{5}{4}$x-$\frac{45}{2}$）=-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{45}{4}$x，
即S=-$\frac{5}{8}$x²+$\frac{45}{4}$x（13＜x＜18），
∴当x=$\frac{-\frac{45}{4}}{2×（-\frac{5}{8}）}$=9时，S有最大值，但13＜x＜18，所以△PEF的面积S没有最大值；

（3）直线CM与⊙G相切，理由如下：
∵抛物线m的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2），
∴令x=0，得y=4，
∴C（0，4）．
∵抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，
∴G（3，0），
∵OC=4，OG=3，连结CG，
∴CG=$\sqrt{O{C}^{2}+O{G}^{2}}$=5，
∵AB=10，
∴⊙G的半径是5，
∴点C在⊙G上．
过M作y轴的垂线，垂足为N，连结CM，
则CM²=CN²+MN²=（$\frac{25}{4}$-4）²+3²=$\frac{225}{16}$，
又CG²+CM²=5²+$\frac{225}{16}$=$\frac{625}{16}$=（$\frac{25}{4}$）²=GM²，
∴CG⊥CM，
∴直线CM与⊙G相切．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到旋转的性质，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，利用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，二次函数最值的求法，勾股定理及其逆定理，切线的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．