Question

【题目】如图①所示，四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，点B恰好落在AD边上的点E处，折痕为FG，如图②所示：

（1）图②中，证明：GE=EF；
（2）将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH，如图③所示，当∠FEH=90°时：
①当EF=5，EH=12时，求长方形ABCD的面积；
②将图③中的△PED绕着点E旋转，使点D与点A重合，点P与点M重合，
如图④，求证：△GEM≌△FEH．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图2，

由折叠得：∠BFG=∠EFG，

∵EG∥BC，

∴∠EGF=∠BFG

∴∠EFG=∠EGF，

∴EG=EF；

（2）

证明：①如图3，

∵∠FEH=90°，

∴FH= = =13，

由折叠得：BF=EF=5，CH=EH=12，

∴BC=BF+FH+HC=5+13+12=30，

过E作EM⊥BC于M，

S△EFH= EFEH= FHEM，

×5×12= ×13×EM，

EM= ，

∴长方形ABCD的面积=EM×BC= ×30= ；

②

由折叠得：AE=DE，

∠GAE=∠MAE=90°，

∴G、A、M共线，

由（1）得：EG=EF，

同理得：EH=EP，

∵EP=EM，

∴EM=EH，

∵∠AEF=∠FEH=90°，

∴A、E、H共线，

∴∠AEG=∠HEP，

∵∠DEH=90°，

∴∠DEP+∠HEP=90，

∴∠DEP+∠AEG=90°，

由旋转得：∠DEP=∠AEM，

∴∠AEM+∠AEG=90°，

∴∠GEM=∠FEH=90°，

∴△GEM≌△FEH．

【解析】（1）由折叠得：∠BFG=∠EFG，再由平行线的性质可得：∠EFG=∠EGF，所以EG=EF；（2）①先求BC的长，再作△EFH的高线EM，并利用面积法求EM= ，根据面积公式求长方形ABCD的面积；
②由（1）得：EG=EF，同理EH=EP，再根据旋转得：EM=EH，再证明∠GEM=∠FEH=90°，根据SAS可证明两三角形全等．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用轴对称的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．