【题目】在△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD与高BE的交点.
(1)求证:△ADC≌△BDF.
(2)连接CF,若CD=4,求CF的长.
【答案】(1)见解析;(2)4
【解析】
(1)先证明AD=BD,再证明∠FBD=∠DAC,从而利用ASA证明△BDF≌△ADC;
(2)利用全等三角形对应边相等得出DF=CD=4,根据勾股定理求出CF即可.
(1)证明:∵AD⊥BC,
∴∠FDB=∠ADC=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°=∠ABD,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,
∴∠AEF=∠FDB=90°,
∵∠AFE=∠BFD,
∴由三角形内角和定理得:∠CAD=∠FBD,
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE(ASA);
(2)解:∵△ADC≌△BDE,CD=4,
∴DF=CD=4,
在Rt△FDC中,由勾股定理得:CF===4.
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【题目】(满分8分)我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.
如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是____________;
(2)证明你的结论.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:四边形BCFD是菱形;
(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.
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【题目】如图,已知在△ABC中,AB=AC=5,cosB=,P是边AB上一点,以P为圆心,PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D,联结PD、AD.
(1)求△ABC的面积;
(2)设PB=x,△APD的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)如果△APD是直角三角形,求PB的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知是等边三角形,点的坐标是,点在第一象限,的平分线交轴于点,把绕着点按逆时针方向旋转,使边与重合,得到,连接.求:的长及点的坐标.
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【题目】如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,E在AC边上,且AD=AE.
(1)若∠BAD=40°,求∠EDC的度数;
(2)若∠EDC=15°,求∠BAD的度数;
(3)根据上述两小题的答案,试探索∠EDC与∠BAD的关系.
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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
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【题目】如图,图①由4根火柴棍围成;图②由12根火柴棍围成;图③由24根火柴棍围成;…按此规律,则第⑥个图形由( )根火柴棍围成.
A. 60 B. 72 C. 84 D. 112
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【题目】如图,已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D,交BC的延长线于点E.
(1)求证:∠DAC=∠DCE;
(2)若AB=2,sin∠D=,求AE的长.
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