Question

如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC=5，BC=3，试求AE的长．

Answer 1

分析：（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD=FD即可证明：⊙D与AC相切；
（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=AB-x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．

解答：（1）证明：过D作DF⊥AC于F，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴BD=DF，
∴⊙D与AC相切；

（2）解：设圆的半径为x，
∵∠B=90°，BC=3，AC=5，
∴AB=

AC2 -BC2

=4，
∵AC，BC，是圆的切线，
∴BC=CF=3，
∴AF=AB-CF=2，
∵AB=4，
∴AD=AB-BD=4-x，
在Rt△AFD中，（4-x）²=x²+2²，
解得：x=

3

2

，
∴AE=4-3=1．

点评：本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．