Question

在矩形ABCD中，，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．
（1）如图1，当DH=DA时，
①填空：∠HGA=       度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；
（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．

Answer 1

（1）①45；②当∠AHE为锐角时，∠AHE=22.5°时，a的最小值是２；当∠AHE为钝角时，∠AHE=112.5°时，a的最小值是；（2）.

试题分析：（1）①根据矩形的性质和已知条件得出∠HAE=45°，再根据HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，从而得出答案解决：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°．
∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°．∴∠HAE=45°．
∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°
②分∠AHE为锐角和钝角两种情况讨论即可.
（2）过点H作HQ⊥AB于Q，根据矩形的性质得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，得出四边形DAQH为矩形，设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，由折叠的性质可知∠AEH=∠FEH=60°，得出∠FEG=60°，在Rt△EFG中，根据特殊角的三角函数值求出EG和EQ的值，再由折叠的性质得出AE=EF，求出y关于x的表达式，从而求出AB=2AQ+GB，即可根据比值消去参数x得出a的值．
试题解析：解：（1）①45．
②分两种情况讨论：
第一种情况：如答图１，∠AHE为锐角时，
∵∠HAG=∠HGA=45°，∴∠AHG=90°．
由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°．
∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°，即∠AHE+∠FHE=45°．
∴∠AHE=22.5°．
此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2．

第二种情况：如答图２，∠AHE为钝角时，
∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°．
由折叠可知：∠AEH=∠FEH，∴∠AEH=∠FEH=22.5°．
∵EF∥HG，∴∠GHE=∠FEH=22.5°．
∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°．
此时，当B与E重合时，a的值最小，
设DH=DA=x，则AH=CH=x，
在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：AG=AH=2x，
∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，∴∠AEH=∠GHE．∴GH=GE=x．
∴AB=AE=2x+x．
∴a的最小值是．
综上所述，当∠AHE为锐角时，∠AHE=22.5°时，a的最小值是２；当∠AHE为钝角时，∠AHE=112.5°时，a的最小值是．

（2）如答图３：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°．
∴四边形DAQH为矩形．∴AD=HQ．
设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=60°．
在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°＝4y×，
在Rt△HQE中，，
∴．
∵HA=HG，HQ⊥AB，∴AQ=GQ=．
∴AE=AQ+QE=．
由折叠可知：AE=EF，即，即．
∴AB=2AQ+GB=．
∴．