Question

【题目】如图，在等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，根据三角形中位线的性质、圆周角定理的推论可得点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上，取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心，从而得出当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，最后根据勾股定理求值即可．

解：连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，

∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线

∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF=

∴∠EFC=180°－∠ACB=90°

∵AC为直径

∴∠APC=90°，即AP⊥CP

∴EM⊥MF，即∠EMF=90°

∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上

取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心

当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，

∵等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，

∴AC=BC==

∴EF==，FC==，

∴OM1=OF==

根据勾股定理可得OC=

∴CM1=OC－OM1=

即CM最小值为

故选C．