Question

9．已知在△ABC中边BC的长与BC的长与BC边上的高的和为20．试：
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当BC=10时求BC边上的高及此时三角形的面积；
（3）当面积为（2）所求结果时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请求出其最小周长，如果不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式即可解决．
（2）两种求法①求出BC、BC边上的高，②利用（1）的结论解决．
（3）过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，此时△A′BC的周长最小，接下来利用勾股定理即可解决．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$•x•（20-x）=-$\frac{1}{2}$x²+10x（0＜x＜20）．
（2）当x=10时，BC边上的高=20-10=10，
y=$\frac{1}{2}$×10×10=50．
（3）由（2）可知△ABC的面积=50时，BC=10，BC边上的高也为10
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，
连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′
则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：
△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
∵BB′=20，BC=10，
∴B′C=$\sqrt{B{C}^{2}+BB{′}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，∴△ABC的周长=10+10$\sqrt{5}$，
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10$\sqrt{5}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、三角形面积、勾股定理等知识，第三个问题的关键是利用轴对称性质，两点之间线段最短解决问题，所以中考常考题型．