Question

如图，已知二次函数y=ax²-2ax+3的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+b，又tan∠OBC=1．
（1）求二次函数的解析式和直线DC的函数关系式；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标为（0，3），即OC=3，然后可根据∠CBO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标，然后将B点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．也就能求出A、D两点的坐标，然后根据D、C的坐标，用待定系数法求出直线CD的解析式．
（2）已知了A、B的坐标，即可求出AB的长，而△ABC的高为OC，由此可根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答：解：（1）设x=0，代入y=ax²-2ax+3，则y=3，
∴抛物线和y轴的交点为（0，3）
∵tan∠OBC=1
∴OB=OC=3
∴B（3，0）
将B（3，0）代入y=ax²-2ax+3=9a-6a+3=0，
∴a=-1
∴y=-x²+2x+3
∴y=-（x-1）²+4
∴D（1，4），A（-1，0）
将D（1，4）和C（0，3）分别代入y=kx+b得：
∴k=1，b=3，
∴y=x+3；

（2）S_△ABC=

1

2

×4×3=6．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、解直角三角形等知识点．通过三角函数求出B点的坐标从而确定出抛物线的解析式是解题的关键．