Question

如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为-2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径；
（3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，则t的取值范围是

2-

2

＜t＜2+

2

，且t≠1、t≠3

；
（4）点F是抛物线上一动点，若∠AFC为直角，则点F坐标为

（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）或（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：（1）知道了抛物线顶点P的横坐标，那么也就知道了抛物线的对称轴方程，点A、C的坐标可由直线AC求得，而点A、B关于抛物线对称轴对称，所以点B的坐标可得，再由待定系数法确定抛物线的解析式．
（2）由A、P、B、C四点坐标不难看出：∠PBA=∠CAB=45°，那么若以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，只需找出另一组对应角相等即可，分两种情况讨论：①∠PCB=∠ABC，②∠BPC=∠ABC；在上述两种情况中，先设出点D的坐标，再表示出BD、BP、AB、AC的长，根据得到的不同比例线段，列式求出点D的坐标．知道了PD的长，由2r=

PD

sin∠PBD

求出三角形的外接圆半径．
（3）∠AEB是直角，那么点E必为以AB为直径的圆与直线l的交点，若符合条件的点E有两个，那么直线l与以AB为直角的圆有两个交点，所以在判断t的取值范围时，考虑两个方面：①先求出最大、最小值，此时直线l与以AB为直角的圆相切；②∠AEB是直角，那么点A、E或点B、E不重合，即直线l不能经过点A、B．
（4）过点F作y轴的垂线FH，过点F作x轴的垂线FG，先证明△AFG∽△CFH，根据得到比例线段列式求出点F的坐标．

解答：解：（1）由直线y=x+3知，点A（-3，0）、C（0，3）；
抛物线的顶点P的横坐标为-2，所以对称轴x=-2，则 B（-1，0）；
将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，得：

9a-3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=4 c=3

故抛物线的解析式：y=x²+4x+3．

（2）由（1）的抛物线解析式知：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
则顶点P（-2，-1）；
已知A（-3，0）、C（0，3），B（-1，0）、P（-2，-1）知：∠CAB=∠PBA=45°，AB=2、AC=3

2

、BP=

2

；
①当∠ABC=∠BPD₁时，△ABC∽△BPD₁，得：

BP

AB

=

BD1

AC

，即

2

2

=

BD1

3 2

，BD₁=3；
则D₁（-4，0），则 PD₁=

5

；
故△PBD外接圆半径 r₁=

PD1

2sin∠PBD

=

5

2•sin45°

=

5

2• 2 2

=

10

2

；
②当∠ABC=∠BD₂P时，△ABC∽△BD₂P，得：

BP

AC

=

BD2

AB

，即

2

3 2

=

BD2

2

，BD₂=

2

3

；
则D₂（-

5

3

，0），则 PD₂=

10

3

；
故△PBD外接圆半径 r₂=

PD2

2sin∠PBD

=

10 3

2•sin45°

=

10 3

2• 2 2

=

5

3

；
综上，有两组解分别是：①P（-2，-1），D₁（-4，0），r₁=

10

2

；②P（-2，-1），D₂（-

5

3

，0），r₂=

5

3

．

（3）若∠AEB为直角，那么点E在以AB为直径的⊙Q上，那么点E为直线l与⊙Q的交点（如右图）；
取与直线l平行，且与⊙Q相切的直线l′、l″，如右图，设切点分别为M、N；
∵直线l∥直线l′∥直线l″，且它们的斜率k=1，
∴∠MKQ=∠NQL=45°．
Rt△KMQ中，QM=

1

2

AB=1，∠MKQ=45°，则 KQ=

2

，
同理可得 QL=

2

；
∴K（-2-

2

，0）、L（-2+

2

，0）；
若直线l与⊙Q始终有两个交点，那么直线l必在直线l′、l″之间，由于直线l与x轴交点为（-t，0），有：
-2-

2

＜-t＜-2+

2

，即 2-

2

＜t＜2+

2

；
而∠AEB是直角，那么点A与点E以及点B与点E都不重合，即直线l不经过点A、B，所以，-t≠-1，且-t≠-3；
综上，t的取值范围：2-

2

＜t＜2+

2

，且t≠1、t≠3．

（4）设点F（x，x²+4x+3），若∠AFC=90°，那么点F在y轴左侧；
①当点F在x轴下方时，过点F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴于H，如图①；
OG=FH=-x，FG=OH=-（x²+4x+3），
AG=OA-OG=3-（-x）=3+x，CH=OC+OH=3-（x²+4x+3）=-（x²+4x）；
∵∠FAC+∠ACF=90°，即∠CAG+∠FAG+∠ACF=90°，又∠CAG=45°，
∴∠FAG+∠ACF=45°；
∵∠ACO=∠ACF+∠FCH=45°，
∴∠FAG=∠FCH；
又∵∠AGF=∠CHF，
∴△AFG∽△CFH，得：

AG

CH

=

FG

FH

，即

x+3

-x(x+4)

=

-(x+1)(x+3)

-x

，
解得：x₁=

-5+ 5

2

、x₂=

-5- 5

2

（舍）；
则F（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）；
②当点F在x轴上方时，如图②；
同①求得 F（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）．
综上，点F的坐标为：（

-5+ 5

2

，

1- 5

2

）或（

-5- 5

2

，

1+ 5

2

）．

点评：此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，主要涉及了：函数解析式的确定、三角形外接圆半径的求法、圆周角、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定和性质等重点知识；第三题中，由直角联想到圆是打开思路的关键；第二、四小题涉及到多种情况，应通过图形将各种情况分别列出进行分类讨论，以免出现漏解的情况．