Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点D在AC上，DE⊥AB于点E．设AE=x，四边形BCDE的周长为y．
（1）证明：△ADE∽△ABC；
（2）y关于x的函数解析式，并画出图象．

Answer 1

分析：（1）由∠C=90°，DE⊥AB于点和∠DAE=∠BAC（公共角），即可证明△ADE∽△ABC．
（2）先利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的相似比求得AD、DE、CD然后即可得出y关于x的函数解析式

解答：（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB于点，
∴∠AED=90°=∠C，
又∠DAE=∠BAC（公共角），
∴△ADE∽△ABC；

（2）解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
由（1），得

AD

AB

=

AE

AC

=

DE

BC

，
即

AD

10

=

x

8

=

DE

6

，
∴AD=

5

4

x，DE=

3

4

x，EB=10-x，CD=8-

5

4

x，
∴y=BC+CD+DE+EB=6+（8-

5

4

x）+

3

4

x+（10-x），
=-

3

2

x+24．其中0＜x＜6.4．图象如图所示．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、函数图象、直角三角形的性质，勾股定理等和知识点，综合性较强，第（1）问比较容易，属于基础题，但是求y关于x的函数解析式，并画出图象，给此题增加了难度，因此属于中档题．