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如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),⊙M经过原点O及点A、B.

(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;

(2)过点B作⊙M的切线l,求直线l的解析式;

(3)∠BOA的平分线交AB于点N,交⊙M于点E,求点N的坐标和线段OE的长.

 

【答案】

解:(1)∵∠AOB=90°,∴AB为⊙M的直径。

∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6。

∴⊙M的半径为5;圆心M的坐标为((4,3)。

(2)如图,设点B作⊙M的切线l交x轴于C,

∵BC与⊙M相切,AB为直径,∴AB⊥BC。

∴∠ABC=90°,∴∠CBO+∠ABO=90°。

∵∠BAO+∠ABO=90°,∴∠BAO=∠CBO。

∴Rt△ABO∽Rt△BCO。

,即,解得

∴C点坐标为(,0)。

设直线BC的解析式为y=kx+b,

把B(0,6)、C点(,0)分别代入得

,解得

∴直线l的解析式为y=x+6。

 (3)如图,作ND⊥x轴,连接AE,

  ∵∠BOA的平分线交AB于点N,∴△NOD为等腰直角三角形。

∴ND=OD。∴ND∥OB。∴△ADN∽△AOB。

∴ND:OB=AD:AO,∴ND:6=(8﹣ND):8,解得ND=

∴OD=,ON=ND=

∴N点坐标为()。

∵△ADN∽△AOB,∴ND:OB=AN:AB,即:6=AN:10,解得AN=

∴BN=10﹣=

∵∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,∴△BON∽△EAN。

∴BN:NE=ON:AN,即:NE=,解得NE=

∴OE=ON+NE=+=

【解析】(1)根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径,则可得到线段AB的中点即点M的坐标,然后利用勾股定理计算出AB=10,则可确定⊙M的半径为5。

(2)点B作⊙M的切线l交x轴于C,由切线的性质得AB⊥BC,由等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO,根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO,所以,可解得,则C点坐标为(,0),最后运用待定系数法确定l的解析式。

(3)作ND⊥x轴,连接AE,易得△NOD为等腰直角三角形,所以ND=OD,ON=ND,再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB,则ND:OB=AD:AO,即ND:6=(8﹣ND):8,解得ND=,所以OD=,ON=,即可确定N点坐标;由于△ADN∽△AOB,利用ND:OB=AN:AB,可求得AN=,则BN=10﹣=,然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,所以△BON∽△EAN,再利用相似比可求出ME,最后由OE=ON+NE计算即可。

 

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