Question

（2013•潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边
BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24

3

米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的

1

3

？

Answer 1

分析：（1）先解Rt△ABC，得出AC=12

3

米，BC=36米，∠ABC=30°，再根据三角函数的定义求出AD=

3

3

x，BE=

3

x，然后根据AD+DE+BE=AB，列出y与x之间的关系式，进而求解即可；
（2）先根据矩形的面积公式得出DEFG的面积=xy，再将（1）中求出的y=24

3

-

4 3

3

x代入，得出矩形DEFG的面积=xy=-

4 3

3

x²+24

3

x，然后利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）先证明两弯新月的面积=△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积，然后根据矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的

1

3

列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=24

3

米，∠BAC=60°，
∴AC=

1

2

AB=12

3

米，BC=

3

AC=36米，∠ABC=30°，
∴AD=

DG

tan60°

=

3

3

x，BE=

EF

tan30°

=

3

x，
∵AD+DE+BE=AB，
∴

3

3

x+y+

3

x=24

3

，
∴y=24

3

-

3

3

x-

3

x=24

3

-

4 3

3

x，
即y与x之间的函数解析式为y=24

3

-

4 3

3

x（0＜x＜18）；

（2）∵y=24

3

-

4 3

3

x，
∴矩形DEFG的面积=xy=x（24

3

-

4 3

3

x）=-

4 3

3

x²+24

3

x=-

4 3

3

（x-9）²+108

3

，
∴当x=9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是108

3

平方米；

（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S₁、S₂、S₃，两弯新月面积为S，
则S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃，
∴S₁+S₂-S=S₃-S_△ABC，
∴S=S_△ABC，
∴两弯新月的面积S=

1

2

AC•BC=

1

2

×12

3

×36=216

3

（平方米）．
如果矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的

1

3

，
那么-

4 3

3

（x-9）²+108

3

=

1

3

×216

3

，
化简整理，得（x-9）²=27，
解得x=9±3

3

，符合题意．
所以当x为（9±3

3

）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的

1

3

．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到矩形的性质，解直角三角形，三角函数，勾股定理，二次函数的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合及方程思想是解题的关键．