Question

如图，等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，以O为圆心，OC为半径作⊙O，交OA于点D，动点P以每秒1个单位的速度从点A出发向点O移动，过点P作PE∥AB，交BC于点E．设P点运动的时间为t（秒）．
（1）求OA的长；
（2）当t为何值时，PE与⊙O相切；
（3）直接写出PE与⊙O有两个公共点时t的范围，并计算，当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积．

Answer 1

分析：（1）过点O作OF⊥AB与点F，结合题意，可得出OA的长；
（2）当PE与⊙O相切时，可知切点恰好是F′点，即PF′=2，即可得出OP的长，从而得出AP，即可得出t的值；
（3）有两个公共点，即处于相交的状态上，结合（2），易得出t的取值范围；当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积恰好为扇形OCD的面积，半径已知，角度已知，即可得出重叠部分的面积．

解答：解：（1）由等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，
过O作梯形的高，得出AO=4；

（2）当PE与⊙O相切时，O到PE的距离为2，
得出OP=

2 3

3

，AP=4-

2 3

3

，
所以，当t=4-

2 3

3

秒时⊙O与PE相切；

（3）4-

2 3

3

＜t≤4，
当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积，
即扇形OCD的面积=

4π

3

．

点评：本题主要考查了等腰梯形的性质和切线的性质，题目不是太难，注意梯形作辅助线的方法有五种：作两高、连对角线、作对角线的平行线、作腰的平行线、延长两腰．