Question

【题目】已知菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，连接PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．

（1）如图，当点P在边AB上，且BP＝3时，求PC的长；

（2）当点P在射线BA上，且BP＝n（0≤n＜8）时，求QC的长；（用含n的式子表示）

（3）连接PQ，直线PQ与直线BC相交于点E，如果△QCE与△BCP相似，请直接写出线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）QC＝（0≤n＜8）；（3）BP的值为2+2或2﹣2．

【解析】

（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，由勾股定理即可得出答案．

（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，推出PQ＝CQ，推出PC＝CQ，在Rt△PHB中，BH＝n，PH＝n，根据PC2＝PH2+CH2，可得结论．

（3）分三种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧的点E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧的点E．③如图4中，当点P在AB的延长线上时，由相似三角形的性质分别求解即可．

解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝4，AD∥BC，

∴∠A+∠ABC＝180°，

∵∠A＝120°，

∴∠PBH＝60°，

∵PB＝3，∠PHB＝90°，

∴BH＝PBcos60°＝，PH＝PBsin60°＝，

∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，

∴PC═＝＝．

（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD＝CBD＝30°，

∵∠PCQ＝30°，

∴∠PBO＝∠QCO，

∵∠POB＝∠QOC，

∴△POB∽△QOC，

∴，

∴，

∵∠POQ＝∠BOC，

∴△POQ∽△BOC，

∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，

∴PQ＝QC，

∴PC＝QC，

在Rt△PHB中，BP＝n，

∴BH＝n，PH＝n，

∵PC2＝PH2+CH2，

∴3QC2＝（n）2+（4﹣n）2，

∴QC＝（0≤n＜8）．

（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧的点E．

此时∠CQE＝120°，

∵∠PBC＝60°，

∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，

此时△QCE与△BCP不可能相似．

②如图3中，若直线QP交直线BC于点C右侧的点E．

则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，

∵∠PCB＞∠E，

∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，

作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，

∴PF＝CF＝2，

此时BP＝2+2，

③如图4中，当点P在AB的延长线上时，

∵△CBE与△CBP相似，

∴∠CQE＝∠CBP＝120°，

∴∠QCE＝∠CBP＝15°，

作CF⊥AB于F．

∵∠FCB＝30°，

∴∠FCB＝45°，

∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，

∴BP＝2﹣2．

综上所述，满足条件的BP的值为2+2或2﹣2．