如图1.过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线.外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽(a) .中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h) ．我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=$\frac{1}{2}$ah.即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答问题:如图2.顶点为C(1.4)的抛� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽（a）”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答问题：
如图2，顶点为C（1，4）的抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A（3，0）、交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA、PB．
①当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB．
②是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）已知抛物线的顶点和抛物线上的几点，即可利用待定系数法求解析式；
（2）①C点坐标为（1，4），根据三角形的面积公式即可求解；
②根据S_△PAB=S_△CAB即可得到一个关于点P的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的P点．

解答解：（1）设抛物线的解析式为：y₁=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
故y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
设直线AB的解析式为：y₂=kx+b，
求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
解得：k=-1，b=3，
所以y₂=-x+3；
（2）①∵C点坐标为（1，4），
∴当x=1时，y₁=4，y₂=2
∴CD=4-2=2，
S_△CAB=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
②∵C点坐标为（1，4），
∴当x=1时，y₁=4，y₂=2，
∴CD=4-2=2，
S_△CAB=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：$\frac{1}{2}$×3×（-x²+3x）=3
化简得：x²-3x+2=0，
∴x=1（舍去）或x=2，
∴点P（2，3）．

点评此题主要考查了二次函数综合题，涉及二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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2．

已知关于x的一元二次方程mx²-（m+1）x+1=0
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx²-（m+1）x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=-x上有一个动点P．求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标，并求PA+PB的最小值．

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19．

如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（　　）

	A．	随C、D的运动位置而变化，且最大值为4
	B．	随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
	C．	随C、D的运动位置长度保持不变，等于2
	D．	随C、D的运动位置而变化，没有最值

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6．

如图，已知抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标，对称轴，点C的坐标；
（3）根据图象，写出y＞0时，x的取值范围；
（4）求△ABC面积；
（5）⊙P的半径为2，圆心P在此抛物线上运动，当⊙P与y轴相切时，求圆心P的坐标．

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16．