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(2012•和平区一模)在平面直角坐标系中,已知点O为坐标原点,点A(0,4).△AOB是等边三角形,点B在第一象限.
(Ⅰ)如图①,求点B的坐标;
(Ⅱ)点P是x轴上的一个动点,连接AP,以点A为旋转中心,把△AOP逆时针旋转,使边AO与AB重合,得△ABD.
①如图②,当点P运动到点(
3
,0)时,求此时点D的坐标;
②求在点P运动过程中,使△OPD的面积等于
3
4
的点P的坐标(直接写出结果即可).
分析:(I)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.
(II)①由△ABD由△AOP旋转得到,证明△ABD≌△AOP.AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形.利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BD•cos60°,DG=BD•sin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.
②本题分三种情况进行讨论,设点P的坐标为(x,0):第一种情况:当点P在x轴正半轴上时,第二种情况:当P在x轴负半轴,OP<
4
3
3
时,第三种情况:当点P在x轴的负半轴上,且OP≥
4
3
3
时,此时点D在x轴上或第四象限.综合上面三种情况即可求出符合条件的值.
解答:解:(Ⅰ)如图①,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F,
∵△AOB是等边三角形,OA=4,
∴BF=OE=2.
在Rt△OBF中,
由勾股定理,得OF=
OB2-BF2
=2
3

∴点B的坐标为(2
3
,2).     
                  
(Ⅱ)①如图②,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F,过点D作DH⊥x轴于点H,
延长EB交DH于点G.
则BG⊥DH.
∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP.
∴∠ABD=∠AOP=90°,BD=OP=
3

∵△AOB是等边三角形,
∴∠ABO=60°.
∵BE⊥OA,
∴∠ABE=30°,∴∠DBG=60°,∠BDG=30°.
在Rt△DBG中,BG=
1
2
DB=
1
2
OP=
1
2
3

∵sin60°=
DG
DB
,∴DG=DB•sin60°=
3
×
3
2
=
3
2

OH=2
3
+
1
2
3
=
5
2
3
DH=2+
3
2
=
7
2

∴点D的坐标为(
5
2
3
7
2
).     
             
②点P的坐标分别为(
21
-2
3
3
,0)、(-
3
3
,0)、(-
3
,0)、
-
21
-2
3
3
,0).
假设存在点P,在它运动过程中,使△OPD的面积等于
3
4

设OP=x,下面分三种情况讨论.
第一种情况:
当点P在x轴正半轴上时,如图③,BD=OP=x,
在Rt△DBG中,∠DBG=60°,
∴DG=BD•sin60°=
3
2
x

DH=2+
3
2
x

∵△OPD的面积等于
3
4

1
2
x
(2+
3
2
x)=
3
4
3
x2+4x-
3
=0

解得:x1=
-2
3
+
21
3
x2=
-2
3
-
21
3
(舍去).
∴点P1的坐标为(
21
-2
3
3
,0).
第二种情况:
当点P在x轴的负半轴上,且OP<
4
3
3
时,此时点D在第一象限,如图④,
在Rt△DBG中,∠DBG=30°,BG=BD•cos30°=
3
2
x

DH=GH=2-
3
2
x

∵△OPD的面积等于
3
4

1
2
x
(2-
3
2
x)=
3
4
3
x2-4x+
3
=0

解得:x1=
3
3
x2=
3

∴点P2的坐标为(-
3
3
,0).点P3的坐标为(-
3
,0).
第三种情况:
当点P在x轴的负半轴上,且OP≥
4
3
3
时,此时点D在x轴上或第四象限,如图⑤,
在Rt△DBG中,∠DBG=60°,
∴DG=BD•sin60°=
3
2
x

∵△OPD的面积等于
3
4

1
2
x
(
3
2
x-2)=
3
4
3
x2-4x-
3
=0

解得:x1=
2
3
+
21
3
x2=
2
3
-
21
3
(舍去).
∴点P4的坐标为(
-
21
-2
3
3
,0).
综上所述,点P的坐标为:P1
21
-2
3
3
,0)、P2-
3
3
,0)、P3-
3
,0)、P4
-
21
-2
3
3
,0).
点评:本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质,关于动点问题,注意分类讨论解答.
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