Question

（2012•和平区一模）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）点P是x轴上的一个动点，连接AP，以点A为旋转中心，把△AOP逆时针旋转，使边AO与AB重合，得△ABD．
①如图②，当点P运动到点（

3

，0）时，求此时点D的坐标；
②求在点P运动过程中，使△OPD的面积等于

3

4

的点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析：（I）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．
（II）①由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
②本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（x，0）：第一种情况：当点P在x轴正半轴上时，第二种情况：当P在x轴负半轴，OP＜

4 3

3

时，第三种情况：当点P在x轴的负半轴上，且OP≥

4 3

3

时，此时点D在x轴上或第四象限．综合上面三种情况即可求出符合条件的值．

解答：解：（Ⅰ）如图①，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，
∵△AOB是等边三角形，OA=4，
∴BF=OE=2．
在Rt△OBF中，
由勾股定理，得OF=

OB2-BF2

=2

3

．
∴点B的坐标为（2

3

，2）．     
                  
（Ⅱ）①如图②，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，
延长EB交DH于点G．
则BG⊥DH．
∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴∠ABD=∠AOP=90°，BD=OP=

3

．
∵△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∵BE⊥OA，
∴∠ABE=30°，∴∠DBG=60°，∠BDG=30°．
在Rt△DBG中，BG=

1

2

DB=

1

2

OP=

1

2

3

．
∵sin60°=

DG

DB

，∴DG=DB•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

．
∴OH=2

3

+

1

2

3

=

5

2

3

．DH=2+

3

2

=

7

2

．
∴点D的坐标为（

5

2

3

，

7

2

）．     
             
②点P的坐标分别为（

21 -2 3

3

，0）、（-

3

3

，0）、（-

3

，0）、
（

- 21 -2 3

3

，0）．
假设存在点P，在它运动过程中，使△OPD的面积等于

3

4

．
设OP=x，下面分三种情况讨论．
第一种情况：
当点P在x轴正半轴上时，如图③，BD=OP=x，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=

3

2

x．
∴DH=2+

3

2

x．
∵△OPD的面积等于

3

4

，
∴

1

2

x•(2+

3

2

x)=

3

4

，

3

x2+4x-

3

=0．
解得：x1=

-2 3 + 21

3

，x2=

-2 3 - 21

3

（舍去）．
∴点P₁的坐标为（

21 -2 3

3

，0）．
第二种情况：
当点P在x轴的负半轴上，且OP＜

4 3

3

时，此时点D在第一象限，如图④，
在Rt△DBG中，∠DBG=30°，BG=BD•cos30°=

3

2

x．
∴DH=GH=2-

3

2

x．
∵△OPD的面积等于

3

4

，
∴

1

2

x•(2-

3

2

x)=

3

4

，

3

x2-4x+

3

=0．
解得：x1=

3

3

，x2=

3

．
∴点P₂的坐标为（-

3

3

，0）．点P₃的坐标为（-

3

，0）．
第三种情况：
当点P在x轴的负半轴上，且OP≥

4 3

3

时，此时点D在x轴上或第四象限，如图⑤，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=

3

2

x．
∵△OPD的面积等于

3

4

，
∴

1

2

x•(

3

2

x-2)=

3

4

，

3

x2-4x-

3

=0．
解得：x1=

2 3 + 21

3

，x2=

2 3 - 21

3

（舍去）．
∴点P₄的坐标为（

- 21 -2 3

3

，0）．
综上所述，点P的坐标为：P₁（

21 -2 3

3

，0）、P₂（-

3

3

，0）、P₃（-

3

，0）、P₄（

- 21 -2 3

3

，0）．

点评：本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质，关于动点问题，注意分类讨论解答．