Question

7．△DBC和△EAC都是等腰直角三角形，斜边BC=$\sqrt{6}$，斜边AC=2，A点在BD上，AE，DC交于F，连接DE，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到CD=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，∠2=45°，由勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=1=$\frac{1}{2}$AC，求得∠1=30°，得到AD=$\frac{1}{2}$AC=1，过F作FG⊥AC于G，设CF=a，AG=FG=$\frac{1}{2}$a，求得CF=a=$\frac{1}{2}×$2（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{3}$-1，推出A，C，D，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠1=∠3．∠2=∠4，证得△ACF∽△DEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ACF}}$=$\frac{D{F}^{2}}{A{F}^{2}}$=（$\frac{（2-\sqrt{3}）^{2}}{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，于是得到结论．

解答 解：∵△DBC和△EAC都是等腰直角三角形，
∴CD=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，∠2=45°，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=1=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠1=30°，
过F作FG⊥AC于G，设CF=a，
∴AG=FG=$\frac{1}{2}$a，CG=CF•cos∠1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=2，
解得：CF=a=$\frac{1}{2}×$2（$\sqrt{3}$-1）=2（$\sqrt{3}$-1），AG=GF=$\sqrt{3}$-1，
∴DF=CD-CF=$\sqrt{3}$-2（$\sqrt{3}$-1）=2-$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∵∠BDC=∠AEC=90°，
∴A，C，D，E四点共圆，
∴∠1=∠3．∠2=∠4，
∴△ACF∽△DEF，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ACF}}$=$\frac{D{F}^{2}}{A{F}^{2}}$=（$\frac{（2-\sqrt{3}）^{2}}{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
∴S△DEF=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{3}$-1）=$\frac{3\sqrt{3}-5}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．