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    某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部△CDG是等腰三角形，固定点E为AB的中点．GE最大高度为3米，△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．设MN到AB之间距离为x米（0≤x≤3）
    （1）x＞1时，MN=
     
    （用x表示）；
    （2）试将△EMN的面积y（平方米）表示成关于x的函数；  
    （3）请你探究y有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
    考点：二次函数的应用
    专题：
    分析：（1）利用△MNG∽△DCG，得出
    MN
    DC
    =
    GH
    GF
    ，得出答案即可；
    （2）本题要分情况解答（0＜x≤1；1＜x＜1+
    		3
    ）．当0＜x≤1时，可直接得出三角形的面积函数，当1＜x＜1+
    		3
    ，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出三角形面积函数
    （3）本题也要分两种情况解答：当MN在矩形区域滑动时以及当MN在三角形区域滑动时），利用二次函数的性质解答．
    当MN在矩形区域滑动时，S=x，可直接由图得出取值范围
    当MN在三角形区域滑动时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值
    解答：解：（1）∵MN∥CD，
    ∴△MNG∽△DCG，
    MN
    DC
    =
    GH
    GF
    ，
    ∴MN=
    2(
    		3
    +1-x)
    		3
    ；
    （2）分两种情况：
    ①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，
    △EMN的面积S=
    1
    2
    ×2×x=x；
    ②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+
    		3
    时，
    如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
    ∵E为AB中点，
    ∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=
    		3
    ．
    又∵MN∥CD，
    ∴△MNG∽△DCG，
    MN
    DC
    =
    GH
    GF
    ，
    ∴MN=
    2(
    		3
    +1-x)
    		3
    ，
    故△EMN的面积S=
    1
    2
    ×
    2(
    		3
    +1-x)
    		3
    ×x=-
    		3
    3
    x2+（1+
    		3
    3
    ）x．
    综合可得：S=
    x，(0＜x≤1)
    -
    		3
    3
    x2+(1+
    		3
    3
    )x．(1＜x＜1+
    		3
    )
    ；

    （3）分两种情况：
    ①当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，S=x，
    ∵S随x的增大而增大，
    又∵0＜x≤1，
    ∴当x=1时，S有最大值1；
    ②当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+
    		3
    时，S=-
    		3
    3
    x2+（1+
    		3
    3
    ）x，
    ∴当x=-
    1+
    		3
    2
    =时，S有最大值，此时最大值S=
    -(1+
    		3
    3
    )2
    4×(-
    		3
    3
    )
    =
    1
    2
    +
    		3
    3
    ．
    ∵
    1
    2
    +
    		3
    3
    ＞1，
    ∴S有最大值，最大值为（
    1
    2
    +
    		3
    3
    ）平方米．
    点评：本题考查的是二次函数的实际运用．要注意结合图形，利用数形结合解答函数问题．
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    2
    3
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