Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与Y轴交于点C，连接AC、BC、AB，

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是抛物线上一点，连接BD、CD，满足，求点D的坐标；

（3）点E在线段AB上（与A、B不重合），点F在线段BC上（与B、C不重合），是否存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐标为，，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F的坐标为，（2，﹣1）或．

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A，B的坐标可得出AB，AC，BC的长度，由AC2+BC2＝25＝AB2可得出∠ACB＝90°，过点D作DM∥BC，交x轴于点M，这样的M有两个，分别记为M1，M2，由D1M1∥BC可得出△AD1M1∽△ACB，利用相似三角形的性质结合S△DBC＝ ，可得出AM1的长度，进而可得出点M1的坐标，由BM1＝BM2可得出点M2的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可得出直线D1M1，D2M2的解析式，联立直线DM和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D的坐标；

（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况考虑：①当点E与点O重合时，过点O作OF1⊥BC于点F1，则△COF1∽△ABC，由点A，C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，进而可得出直线OF1的解析式，联立直线OF1和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F1的坐标；②当点E不和点O重合时，在线段AB上取点E，使得EB＝EC，过点E作EF2⊥BC于点F2，过点E作EF3⊥CE，交直线BC于点F3，则△CEF2∽△BAC∽△CF3E．由EC＝EB利用等腰三角形的性质可得出点F2为线段BC的中点，进而可得出点F2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF3的长度，设点F3的坐标为（x， x﹣2），结合点C的坐标可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，将其正值代入点F3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解．

（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣x﹣2．

（2）当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，

∴点C的坐标为（0，﹣2）．

∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），

∴AC＝，BC＝ ＝2，AB＝5．

∵AC2+BC2＝25＝AB2，

∴∠ACB＝90°．

过点D作DM∥BC，交x轴于点M，这样的M有两个，分别记为M1，M2，如图1所示．

∵D1M1∥BC，

∴△AD1M1∽△ACB．

∵S△DBC＝，

∴,

∴AM1＝2，

∴点M1的坐标为（1，0），

∴BM1＝BM2＝3，

∴点M2的坐标为（7，0）．

设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0），

将B（4，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+c，得：

，解得： ，

∴直线BC的解析式为y＝ x﹣2．

∵D1M1∥BC∥D2M2，点M1的坐标为（1，0），点M2的坐标为（7，0），

∴直线D1M1的解析式为y＝ x﹣ ，直线D2M2的解析式为y＝x﹣．

联立直线DM和抛物线的解析式成方程组，得： 或，

解得： ，， ，，

∴点D的坐标为（2﹣ ， ），（2+ ，），（1，﹣3）或（3，﹣2）．

（3）分两种情况考虑，如图2所示．

①当点E与点O重合时，过点O作OF1⊥BC于点F1，则△COF1∽△ABC，

设直线AC的解析设为y＝mx+n（m≠0），

将A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入y＝mx+n，得：

，解得： ，

∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．

∵AC⊥BC，OF1⊥BC，

∴直线OF1的解析式为y＝﹣2x．

连接直线OF1和直线BC的解析式成方程组，得： ，

解得： ，

∴点F1的坐标为（ ，﹣ ）；

②当点E不和点O重合时，在线段AB上取点E，使得EB＝EC，过点E作EF2⊥BC于点F2，过点E作EF3⊥CE，交直线BC于点F3，则△CEF2∽△BAC∽△CF3E．

∵EC＝EB，EF2⊥BC于点F2，

∴点F2为线段BC的中点，

∴点F2的坐标为（2，﹣1）；

∵BC＝2 ，

∴CF2＝ BC＝ ，EF2＝ CF2＝ ，F2F3＝ EF2＝ ，

∴CF3＝ ．

设点F3的坐标为（x， x﹣2），

∵CF3＝，点C的坐标为（0，﹣2），

∴x2+[x﹣2﹣（﹣2）]2＝，

解得：x1＝﹣ （舍去），x2＝，

∴点F3的坐标为（，﹣ ）．

综上所述：存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，点F的坐标为（ ，﹣ ），（2，﹣1）或（ ，﹣ ）．