Question

一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
解答：①∵F为AB中点
∴AF=BF（1分）
∵∠AFM=45°，∠DFE=90°
∴∠BFN=180-∠AFM-∠DFE
=180-45°-90°=45°
∴∠AFM=∠BFN（2分）
在△AFM和△FBN中

∴△AFM≌△BFN（ASA）
∴MF=NF（3分）
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA=MF=MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△AMF
∴S_{四边形CDFE}=S_△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；
即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN=BC=2．
∴DN=DN=2 ；
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S_△CEF=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=4-2=2，
故⑤正确．
故选C．
点评：此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．