Question

9．（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；

（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．
（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，则可根据“AAS”证明△AEC≌△CDB；
（2）作B′D⊥AC于D，如图2，先证明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4，然后根据三角形面积公式计算；
（3）如图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，则BP=BC+PC=4，然后计算点P运动的时间t．

解答 （1）证明：如图1，
∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDB}\\{∠EAC=∠BCD}\\{AC=CB}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CDB；
（2）作B′D⊥AC于D，如图2，
∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，
∴AB′=AB，∠B′AB=90°，
即∠B′AC+∠BAC=90°，
而∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠B′AC，
在△B′AD和△ABD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB′=∠BCA}\\{∠B′AD=∠B}\\{AB′=BA}\end{array}\right.$，
∴△B′AD≌△ABD，
∴B′D=AC=4，
∴△AB′C的面积=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（3）如图3，∵OC=2，
∴OB=BC-OC=1，
∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，
∴∠FOP=120°，OP=OF，
∴∠1+∠2=60°，
∵△BCE为等边三角形，
∴∠BCE=∠CBE=60°，
∴∠FBO=120°，∠PCO=120°，
∴∠2+∠3=∠BCE=60°，
∴∠1=∠3，
在△BOF和△CPO，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠PCO}\\{∠1=∠3}\\{OF=PO}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△CPO，
∴PC=OB=1，
∴BP=BC+PC=3+1=4，
∴点P运动的时间t=$\frac{4cm}{1cm/s}$=4s．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；解决此题的关键是理解（1）小题的解题方法．