Question

如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出结论；
（2）由（1）的结论就可以推出AB???长度，规矩勾股定理即可推出BD的长度．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

．
∴∠ABC=∠ADB．（2分）
又∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB．（4分）

（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴

AB

AE

=

AD

AB

．
∵AD=1，DE=3，
∴AE=4．
∴AB²=AD•AE=1×4=4．
∴AB=2．（6分）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°．
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=2²+1²=5，
∴BD=

5

．（8分）

点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，解题的关键在于找到∠ABC=∠ADB，求证三角形相似．