如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).
(1)求∠BAC的度数;
(2)求△ABC面积的最大值.
(参考数据: ,
,
.)
解:(1) 解法一
连接OB,OC,过O作OE⊥BC于点E.
∵OE⊥BC,BC=,
∴. ………………1分
在Rt△OBE中,OB=2,∵
,
∴, ∴
,
∴. ………………4分
解法二
连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD.
∵BD是直径,∴BD=4,.
在Rt△DBC中,,
∴,∴
.………………4分
(2) 解法一
因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分
过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,.
在Rt△ABE中,∵
,
∴,
∴S△ABC=
.
答:△ABC面积的最大值是. ………………7分
解法二
因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分
过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC.
∵, ∴△ABC是等边三角形.
在Rt△ABE中,∵,
∴,
∴S△ABC=
.
答:△ABC面积的最大值是. ………………7分
解析
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B、
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C、
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D、
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