Question

13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连结OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若∠AOB=3∠COB，OC=4$\sqrt{3}$，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，进而得出答案；
（2）首先根据∠AOB=3∠COB得到∠COB=30°，从而得到∠AOB为直角，然后利用S_阴影=S_扇形OBA-S_△OEA求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°；

（2）∵∠AOB=3∠COB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠COB=120°，
∴∠COB=30°，
∴∠AOB=∠BOC-∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=4$\sqrt{3}$，
∴OE=OA•tan∠OAE=4$\sqrt{3}$•tan30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4，
∴S_△OEA=$\frac{1}{2}$OE•OA=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OBA=$\frac{90π（4\sqrt{3}）^{2}}{360}$=12π，
∴S_阴影=S_扇形OBA-S_△OEA=12π-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．