Question

15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P是OD上一点，E是BC上一点，AP⊥PE，过点P作PF⊥BC于点F．
（1）求证：AP=PE；
（2）试判断EF与CE的数量关系并给予证明；
（3）当点P在OB上时，E为CB延长线上一点，AP⊥PE，过点P作PF⊥BC于点F，在备用图上补全图形，试判断EF与CF的数量关系并给予证明．

Answer 1

分析 （1）延长PF交AD于G，则由PF⊥BC可得PG⊥AD，根据ASA判定△AGP≌△PFE，即可得出AP=PE；
（2）根据△AGP≌△PFE，可得EF=PG，再根据等腰直角三角形PDG中，PG=DG，而矩形CDGF中，DG=CF，可得F是CE的中点，进而得出CE=2EF；
（3）延长PF交AD于G，则由PF⊥BC可得PG⊥AD，根据ASA判定△AGP≌△PFE，进而得出PG=EF，再根据等腰直角三角形DGP中，PG=DG，而矩形CDGF中，DG=CF，即可得出EF=CF．

解答 解：（1）如图，延长PF交AD于G，则由PF⊥BC可得PG⊥AD，
∴∠AGP=∠PFE=90°，
又∵AP⊥PE，
∴∠PAG+∠APG=∠EPF+∠APG=90°，
∴∠PAG=∠EPF，
又∵矩形ABFG中，AG=BF，
等腰直角三角形BFP中，BF=PF，
∴AG=PF，
在△AGP和△PFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAG=∠EPF}\\{AG=PF}\\{∠AGP=∠PFE}\end{array}\right.$，
∴△AGP≌△PFE（ASA），
∴AP=PE；

（2）EF与CE的数量关系为：CE=2EF．
证明：∵△AGP≌△PFE，
∴EF=PG，
又∵等腰直角三角形PDG中，PG=DG，
而矩形CDGF中，DG=CF，
∴EF=CF，即F是CE的中点，
∴CE=2EF．

（3）如图所示，当点P在OB上时，EF与CF的数量关系为：EF=CF．
证明：延长PF交AD于G，则由PF⊥BC可得PG⊥AD，
∴∠AGP=∠PFE=90°，
又∵AP⊥PE，
∴∠PAG+∠APG=∠EPF+∠APG=90°，
∴∠PAG=∠EPF，
又∵矩形ABFG中，AG=BF，
等腰直角三角形BFP中，BF=PF，
∴AG=PF，
在△AGP和△PFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAG=∠EPF}\\{AG=PF}\\{∠AGP=∠PFE}\end{array}\right.$，
∴△AGP≌△PFE（ASA），
∴PG=EF，
又∵等腰直角三角形DGP中，PG=DG，
而矩形CDGF中，DG=CF，
∴EF=CF．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，依据全等三角形对应边相等以及矩形对边相等进行推导．