Question

12．已知，Rt△ABC中∠C=90°，点D在边CB的延长线上，BD=AC，点E在边CA的延长线上，AE=CD，连接BE、AD交于点P，若BC=2BD=2，则PE=$\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 过B作BH∥EC，可得△BHD∽△CAD，根据相似三角形的性质可设BP=m，则PE=9m，由勾股定理可求m，进一步求得PE的长．

解答 解：由已知得，BC=2，BD=1，
∵BD=AC，AE=CD，
∴AE=3，AC=1，
过B作BH∥EC，
∵BH∥EC，
∴△BHD∽△CAD，
∴$\frac{BH}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{BH}{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴BH=$\frac{1}{3}$，
∵BH∥AE，
∴△HBP∽△AEP，
∴$\frac{BP}{PE}$=$\frac{\frac{1}{3}}{3}$=$\frac{1}{9}$，
设BP=m，则PE=9m，
∴BE=10m，
在Rt△ECB中，由勾股定理得（10m）²=2²+4²，
100m²=20，
m²=$\frac{1}{5}$，
m=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
PE=$\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．
故答案为：$\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出辅助线构造三角形相似是解决问题的关键．