Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．

（1）求m，k的值；

（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．

①当n＝2时，求线段CD的长；

②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m=4，k=4；（2）①CD＝3；②0＜n≤2或n≥3+．

【解析】

（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；

（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；

②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．

（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），

∴m＝1+3＝4，

∵反比例函数的图象经过点A（1，4），

∴k＝1×4＝4；

（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），

当y＝2时，2＝，解得x＝2，

∴点C的坐标为（2，2），

当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，

∴点D的坐标为（﹣1，2），

∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；

②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）

当y＝n时，n＝，解得x＝，

∴点C的坐标为（，n），

当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，

∴点D的坐标为（n﹣3，n），

当点C在点D的右侧时，

若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），

∴当0＜n≤2时，CD≥OB；

当点C在点D的左侧时，

若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），

∴当n≥3+时，CD≥OB，

综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．