Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A,C在坐标轴上，点P在BC边上，直线ι1:y=2x+3，直线ι2：y=2x-3

（1）求直线l1与x轴的交点坐标T，直线ι2与AB的交点坐标Q和与x轴的交点坐标G；

（2）判定四边形ATGQ的形状并求它的面积；

（3）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若ΔAPM是等腰直角三角形，求点M坐标

Answer 1

【答案】（1）T的坐标为（，0），Q的坐标为（3，3），G的坐标为（，0）；（2）四边形ATGQ是平行四边形，面积为9；（3）点M的坐标为或或.

【解析】

（1）根据坐标轴上的点的坐标特点可求直线l1与x轴的交点坐标T，直线l2与x轴的交点坐标G，根据直线AB上点的纵坐标特征可求直线l2与AB的交点坐标Q；

（2）从四边形ATGQ的两组对边的位置关系和一组邻边的数量关系进行判断即可；

（3）作图分三种情况讨论，设点的坐标为，根据证明三角形全等得到对应边长的关系，结合题目数据列出等式，求解x的值即可.

解：（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，解得，则直线l1与x轴的交点T的坐标为（，0）；直线l2：当y=3时，2x－3=3，解得x=3，则直线l2与AB的交点Q的坐标为（3，3），当y=0时，2x－3=0，解得，则直线l2与x轴的交点G的坐标为（，0）.

（2）如图1，因为直线l1与直线l2的k相同，都是2，所以AT∥QG，因为T（，0），G（，0），所以TG=3≠AT，又因为AB∥OC，所以四边形ATGQ是平行四边形，且平行四边形ATGQ 的面积=TG×OA=3×3=9.

（3）①若点A为直角顶点，点M在第一象限，AM=AP，如图2，过点P作PF⊥y轴于点F，过点M作MN⊥y轴于点N，则Rt△AMN≌Rt△PAF，∴MN=AF，AN=PF=4，∴M点的纵坐标为7，当y=7时，2x－3=7，解得x=5，即MN=5，∴AF=5，于是P点的坐标为（4，－2），∵点P在BC边上，∴此种情形点M不存在；

②若点P为直角顶点，点M在第一象限，如图3，过点M作MN⊥CB交CB的延长线于点N，

则Rt△ABP≌Rt△PNM，

∴AB=PN=4，MN=BP，

设M（x，2x－3），则MN=x－4，∴ ，解得， ；

③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图4，设，

过点作交OA于点G1，交BC于点，

则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，

∴，

∴，

解得x=2，∴ ；

设，同理可得，解得，∴ .

综上所述，点M的坐标为或或.