Question

已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为

5

，过C作⊙A的切线交x轴于点B．
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC，由勾股定理可求出OC的长，进而得出C点坐标，同理，由切线的性质及勾股定理即可得出OB的长，进而求出B点坐标，再用待定系数法即可求出过BC两点的直线解析式；
（2）过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用锐角三角函数的定义可求出CG的长，
由勾股定理可得出BC的长，由OC∥GH可得出

OH

BO

=

CG

BC

，进而可求出G点坐标；
（3）假设△AEF为直角三角形，由AE=AF可判断出△AEF为等腰三角形，可得出∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的长度，证出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性质可得出A点坐标；当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性质可得出A′点的坐标．

解答：解：（1）连接AC，则OC=

( 5 )2-1

=2，故点C的坐标为（0，2），
∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，（OB+OA）²=BC²+AC²，即（OB+1）²=BC²+5①，
在Rt△OBC中，BC²=OB²+OC²，即OBC²=OB²+4②，
①②联立得，OB=4，
∴点B的坐标为（-4，0）
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x+2；

（2）如图1：
解法一：过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x₀，y₀），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，求得CG=

15

3

，
又∵OB=4，
∴BC=

OB2+OC2

=2

5

，
∵OC∥GH，
∴

OH

BO

=

CG

BC

，则OH=

2 3

3

，即x₀=

2 3

3

，
又∵点G在直线BC上，
∴y₀=

1

2

×

2 3

3

+2
=

3

3

+2，
∴G（

2 3

3

，

3

3

+2），
解法二：过G点作y轴垂线，垂足为H，连接AG
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，求得CG=

15

3

，
由△BCO∽△GCH，得

CH

GH

=

CO

BO

=

1

2

，
即GH=2CH，
在Rt△CHG中，CG=

15

3

，GH=2CH，得CH=

3

3

，HG=

2 3

3

，
∴G（

2 3

3

，

3

3

+2）；

（3）方法一
如图2：
在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．
若△AEF为直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF为等腰三角形，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，
∴∠EAF=90°，
过A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

( 5 )2+( 5 )2

=

10

，
AM=

1

2

EF=

1

2

10

，
证出△BOC∽△BMA得，

OC

AM

=

BC

AB

，
而BC=

OC2+OB2

=

22+42

=2

5

，OC=2，可得AB=

5 2

2

∴OA=4-

5 2

2

，
∴A（-4+

5 2

2

，0），
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，
过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，
∴A′B=AB=

5 2

2

，
∴OA′=OB+A′B=4+

5 2

2

，
∴A′（-4-

5 2

2

，0），
∴A（-4+

5 2

2

，0）或A′（-4-

5 2

2

，0）
方法二：
如图3，
在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形
若△AEF为直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF为等腰三角形
∴∠AEF=∠AFE≠90°
∴∠EAF=90°（11分）
过F作FM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，EH⊥MF于H
设AN=x，EN=y
由△AEN≌△FAM
可得AM=y，FM=x
FH=x-y
EH=x+y，由

FH

EH

=

OC

OB

=

2

4

=

1

2

，即

x-y

x+y

=

1

2

，
∴x=3y
在Rt△AEN中，
x²+y²=（

5

）²
x²+y²=5，
解得

x= 3 2 2 y= 2 2

，
又∵

EN

BN

=

OC

OB

=

2

4

=

1

2

，
∴BN=2y，BN=

2

，
∴AB=

3 2

2

+

2

=

5 2

2

，
∴OA=4-

5 2

2

，
∴A（-4+

5 2

2

，0），
以下同解法一，得A′（-4-

5 2

2

，0）．（16分）

点评：本题考查的是切线的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，涉及面较广，难度较大．