Question

（2012•莲都区模拟）将抛物线y=-2x²-1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（　　）

• A．

  3

  2

  个单位
• B．1个单位
• C．

  1

  2

  个单位
• D．

  2

  个单位

Answer 1

分析：由题意画出相应的图形，设出抛物线向上平移a个单位，且得到a大于1，利用平移规律“上加下减”表示出平移后抛物线的解析式，令解析式中y=0求出x的值，得到B和C的坐标，进而得到BC的长，由平移的距离AM=a，根据原抛物线的解析式求出M的坐标，确定出OM的长，可利用AM-OM表示出OA的长，又平移后抛物线的对称轴为y轴，得到O为BC的中点，再由三角形ABC为直角三角形，可得斜边上的中线AO等于斜边BC的一半，列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，即为平移的距离．

解答：
解：设抛物线向上平移a（a＞1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，
且这些交点能构成直角三角形，
则有平移后抛物线的解析式为：y=-2x²-1+a，AM=a，
∵抛物线y=-2x²-1与y轴的交点M为（0，-1），即OM=1，
∴OA=AM-OM=a-1，
令y=-2x²-1+a中y=0，得到-2x²-1+a=0，
解得：x=±

a-1 2

，
∴B（-

a-1 2

，0），C（

a-1 2

，0），即BC=2

a-1 2

，
又△ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，
∴AO=

1

2

BC，即a-1=

a-1 2

，
两边平方得：（a-1）²=

a-1

2

，
∵a-1≠0，∴a-1=

1

2

，
解得：a=

3

2

．
故选A

点评：此题考查了二次函数的图象及几何变换，涉及的知识有：平移规律，直角三角形的性质，抛物线与x轴的交点，利用了转化及数形结合的思想，解题的关键是根据题意表示出OA及BC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半建立两边长的关系，借助方程来解决问题．