Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；
（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形 AEA′D为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=

1

2

AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=

1

2

AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD，则t=12-2t，所以t=4．即当t=4时，四边形AEA′D为菱形．

解答：解：（1）AE=t，AD=12-2t；

（2）∵DF⊥BC，∠C=30°
∴DF=

1

2

CD=

1

2

×2t=t
∵AE=t
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE=

1

2

AD∴t=

1

2

(12-2t)
∴t=3，
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=

1

2

AE∴12-2t=

1

2

t
∴t=

24

5

，
综上：当t=3秒或t=

24

5

秒时，△DEF为直角三角形；

（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD
∴t=12-2t
∴t=4
∴当t=4时，四边形AEA′D为菱形，
设EA′交BC于点G
在Rt△EBG中，∠BEG=180°-∠AEG=60°
∴GE=2BE
∵BE=AB-AE=6-4=2
∴GE=4=EA′，
∴点G与点A′重合
∴点A在BC上．

点评：本题考查了四边形综合题．解题时，需要综合运用矩形的性质，直角三角形的性质，菱形的性质以及平行四边形的判定与性质．另外，解题时，需要分类讨论．