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如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=12cm,点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动,同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动,运动时间为t秒(0<t<6),过点D作DF⊥BC于点F.

(1)试用含t的式子表示AE、AD的长;
(2)如图①,在D、E运动的过程中,四边形AEFD是平行四边形,请说明理由;
(3)连接DE,当t为何值时,△DEF为直角三角形?
(4)如图②,将△ADE沿DE翻折得到△A′DE,试问当t为何值时,四边形 AEA′D为菱形?并判断此时点A是否在BC上?请说明理由.
分析:(1)根据题意直接表示出来即可;
(2)由“在直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t,又AE=t,则DF=AE;而由垂直得到AB∥DF,即“四边形AEFD的对边平行且相等”,由此得四边形AEFD是平行四边形;
(3)①显然∠DFE<90°;
②如图(1),当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,此时 AE=
1
2
AD,根据题意,列出关于t的方程,通过解方程来求t的值;
③如图(2),当∠DEF=90°时,此时∠ADE=90°-∠A=30°,此时AD=
1
2
AE,根据题意,列出关于t的方程,通过解方程来求t的值;
(4)如图(3),若四边形AEA′D为菱形,则AE=AD,则t=12-2t,所以t=4.即当t=4时,四边形AEA′D为菱形.
解答:解:(1)AE=t,AD=12-2t;

(2)∵DF⊥BC,∠C=30°
∴DF=
1
2
CD=
1
2
×2t=t
∵AE=t
∴DF=AE,
∵∠ABC=90°,DF⊥BC
∴DF∥AE,
∴四边形AEFD是平行四边形;

(3)①显然∠DFE<90°;
②如图(1),当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,
此时 AE=
1
2
AD∴t=
1
2
(12-2t)

∴t=3,
③如图(2),当∠DEF=90°时,此时∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=
1
2
AE∴12-2t=
1
2
t

t=
24
5

综上:当t=3秒或t=
24
5
秒时,△DEF为直角三角形;

(4)如图(3),若四边形AEA′D为菱形,则AE=AD
∴t=12-2t
∴t=4
∴当t=4时,四边形AEA′D为菱形,
设EA′交BC于点G
在Rt△EBG中,∠BEG=180°-∠AEG=60°
∴GE=2BE
∵BE=AB-AE=6-4=2
∴GE=4=EA′,
∴点G与点A′重合
∴点A在BC上.
点评:本题考查了四边形综合题.解题时,需要综合运用矩形的性质,直角三角形的性质,菱形的性质以及平行四边形的判定与性质.另外,解题时,需要分类讨论.
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B、
1
2
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5
5
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2
5
5

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