Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边向形外作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求证：BD=CE；
（3）若连接BE、CD，试判断BE、CD是否相等，并对结论给予证明．

Answer 1

（1）∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-30°

2

=75°，
∵以AB、AC为边向形外作两个等腰直角三角形ABD和ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠DBC=75°+45°=120°；

（2）证明：∵△ADB和△ACE都是等腰直角三角形，且AB=AC，
∴AB=AD=AC=AE，
在△ADB和△ACE中，

AD=AC ∠EAC=∠DAB AB=AE

，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴BD=EC；

（3）BE=CD，
理由：由（2）得，AB=AD=AC=AE，∠EAC=∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=CD．