Question

【题目】【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠AB′B= ．
（3）【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．
…
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）
（4）【灵活运用】
如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）如图所示，△AB′C′即为所求；

（2）45°
（3）如图②，

∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，

∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，

∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，

∴PP′= PC，即AP= PC，

∵∠APC=90°，

∴AP2+PC2=AC2，即（ PC）2+PC2=72，

∴PC=2 ，

∴AP= ，

∴S△APC= APPC=7 ；

（4）如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC，

∴AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=kAB，

∴DG=kBC=4k，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG= = ．

∴BD=CG= ．

【解析】解：【操作发现】（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，

∴AB=AB′，∠B′AB=90°，

∴∠AB′B=45°，

所以答案是：45°；

【考点精析】利用勾股定理的概念和相似三角形的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．