Question

15．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象经过点A（1，6），过点A作AC⊥x轴于点C，点B在直线AC右侧的函数图象上，过点B作BD⊥y轴于点D，交AC于点F，连接BC、AD、CD．
（1）k=6；
（2）四边形ABCD能否为菱形？若可以，求点B的坐标，若不可以，说明理由；
（3）连接AB并延长，交x轴于点E，试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值；
（2）假设可以，根据菱形的性质结合点A的坐标，可求出点C、F的坐标，再由BD⊥y轴，结合点F为线段BD的中点，即可得出点B、D的坐标，验证点B是否在反比例函数图象上，由此即可得出结论；
（3）四边形BDCE为平行四边形，设出点B的坐标为（m，$\frac{6}{m}$），用m表示出线段AF、BF和CE，在△ACE中由BF∥CE可得出比例关系$\frac{BF}{CE}=\frac{AF}{AC}$，代入数据求出CE的长度，从而得知BD=CE，再结合BD∥CE，即可证出四边形BDCE为平行四边形．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象经过点A（1，6），
∴k=1×6=6．
故答案为：6．
（2）依照题意补全图中字母，如图所示．

假设可以．
∵四边形ABCD能否为菱形，
∴线段AC和BD互相垂直平分．
∵点A的坐标为（1，6），AC⊥x轴于点C，
∴点C的坐标为（1，0），点F的坐标为（1，3）．
又∵点F为线段BD的中点，BD⊥y轴于点D，
∴点D的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，3）．
∵2×3=6，
∴点B在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上．
故四边形ABCD能为菱形，此时点B的坐标为（2，3）．
（3）四边形BDCE为平行四边形．
证明：设点B的坐标为（m，$\frac{6}{m}$），
则：DF=1，BF=m-1，AF=6-$\frac{6}{m}$，AC=6．
∵BD⊥y轴于点D，CE在x轴上，
∴BF∥CE，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{m-1}{CE}=\frac{6-\frac{6}{m}}{6}$，
∴CE=$\frac{6（m-1）}{6-\frac{6}{m}}$=m．
∵BD=m，
∴BD=CE=m，
又∵BD∥CE，
∴四边形BDCE为平行四边形．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、平行线的性质以及平行四边形的判定定理，解题的关键是：（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）求出点B的坐标，验证其是否在反比例函数图象上；（3）求出BD=CE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出点的坐标，再去验证其是否在反比例函数图象上是关键．