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(2012•百色)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0).直线y=h(h为常数,且0<h<6)与BC交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点F,与抛物线在第二象限交于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BE,求h为何值时,△BDE的面积最大;
(3)已知一定点M(-2,0).问:是否存在这样的直线y=h,使△OMF是等腰三角形?若存在,请求出h的值和点G的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0),利用待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)首先利用待定系数法求得经过点B和点C的直线的解析式,由题意可得点E的坐标为(0,h),则可求得点D的坐标为(
6-h
3
,h),则可得S△BDE=
1
2
•OE•DE=
1
2
•h•
6-h
3
=-
1
6
(h-3)2+
3
2
,然后由二次函数的性质,即可求得△BDE的面积最大;
(3)分别从①若OF=OM,则
(
h-6
2
)
2
+h2
=2、②若OF=MF,则
(
h-6
2
)
2
+h2
=
(
h-6
2
+2)
2
+h2
与③若MF=OM,则
(
h-6
2
)
2
+h2
=
(
h-6
2
+2)
2
+h2
去分析求解即可求得答案.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0),
9a-3b+6=0
4a+2b+6=0

解得:
a=-1
b=-1

∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6.

(2)∵把x=0代入y=-x2-x+6,得y=6.
∴点C的坐标为(0,6).
设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n,则
2m+n=0
n=6

解得
m=-3
n=6

∴经过点B和点C的直线的解析式为:y=-3x+6.
∵点E在直线y=h上,
∴点E的坐标为(0,h).
∴OE=h.
∵点D在直线y=h上,
∴点D的纵坐标为h.
把y=h代入y=-3x+6,得h=-3x+6.
解得x=
6-h
3

∴点D的坐标为(
6-h
3
,h).
∴DE=
6-h
3

∴S△BDE=
1
2
•OE•DE=
1
2
•h•
6-h
3
=-
1
6
(h-3)2+
3
2

∵-
1
6
<0且0<h<6,
∴当h=3时,△BDE的面积最大,最大面积是
3
2


(3)存在符合题意的直线y=h.
设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p,则
-3k+p=0
p=6

解得
k=2
p=6

故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6.
把y=h代入y=2x+6,得h=2x+6.
解得x=
h-6
2

∴点F的坐标为(
h-6
2
,h).
在△OFM中,OM=2,OF=
(
h-6
2
)2+h2
,MF=
(
h-6
2
+2)
2
+h2

①若OF=OM,则
(
h-6
2
)
2
+h2
=2,
整理,得5h2-12h+20=0.
∵△=(-12)2-4×5×20=-256<0,
∴此方程无解.
∴OF=OM不成立.
②若OF=MF,则
(
h-6
2
)
2
+h2
=
(
h-6
2
+2)
2
+h2

解得h=4.
把y=h=4代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=4,
解得x1=-2,x2=1.
∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为(-2,4).
③若MF=OM,则
(
h-6
2
+2)
2
+h2
=2,
解得h1=2,h2=-
6
5
(不合题意,舍去).
把y=h1=2代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=2.
解得x1=
-1-
17
2
,x2=
-1+
17
2

∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为(
-1-
17
2
,2).
综上所述,存在这样的直线y=2或y=4,使△OMF是等腰三角形,当h=4时,点G的坐标为(-2,4);当h=2时,点G的坐标为(
-1-
17
2
,2).
点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及等腰三角形的性质.此题难度较大,注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.
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3
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5
3
π-
3
2
5
3
π-
3
2
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