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    17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
    （1）若AP=1，则AE=$\frac{3}{4}$；
    （2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
    ②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
    （3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

    分析 （1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠BPC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；
    （2）①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；
    ②连接OA、AC，由勾股定理求出AC=4$\sqrt{2}$，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；
    （3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN=$\frac{1}{2}$AE，设AP=x，则BP=4-x，由相似三角形的对应边成比例求出AE=x-$\frac{1}{4}$x2=-$\frac{1}{4}$（x-2）2+1，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=$\frac{1}{2}$即可．

    解答 （1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
    ∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，
    ∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，
    ∴∠AEP=∠BPC，
    ∴△APE∽△BCP，
    ∴$\frac{AE}{BP}=\frac{AP}{BC}$，即$\frac{AE}{4-1}=\frac{1}{4}$，
    解得：AE=$\frac{3}{4}$；
    故答案为：$\frac{3}{4}$；
    （2）①证明：∵PF⊥EG，
    ∴∠EOP=90°，
    ∴∠EOP+∠A=180°，
    ∴A、P、O、E四点共圆，
    ∴点O一定在△APE的外接圆上；
    ②解：连接OA、AC，如图1所示：
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠B=90°，∠BAC=45°，
    ∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
    ∵A、P、O、E四点共圆，
    ∴∠OAP=∠OEP=45°，
    ∴点O在AC上，
    当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
    即点O经过的路径长为2$\sqrt{2}$；
    （3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：
    则MN∥AE，
    ∵ME=MP，
    ∴AN=PN，
    ∴MN=$\frac{1}{2}$AE，
    设AP=x，则BP=4-x，
    由（1）得：△APE∽△BCP，
    ∴$\frac{AE}{BP}=\frac{AP}{BC}$，即$\frac{AE}{4-x}=\frac{x}{4}$，
    解得：AE=x-$\frac{1}{4}$x2=-$\frac{1}{4}$（x-2）2+1，
    ∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
    即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为$\frac{1}{2}$．

    点评 本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，难度较大．

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